(위도. 진폭- 크기) - 이것은 평형 위치에서 진동체의 가장 큰 편차입니다.

진자의 경우 이것은 공이 평형 위치에서 움직이는 최대 거리입니다(아래 그림). 진폭이 작은 진동의 경우 이 거리는 호 01 또는 02의 길이와 이러한 세그먼트의 길이로 간주할 수 있습니다.

진동 진폭은 길이 단위(미터, 센티미터 등)로 측정됩니다. 진동 그래프에서 진폭은 사인 곡선의 최대 좌표(절대값)로 정의됩니다(아래 그림 참조).

진동 기간.

진동 주기- 이것은 진동을 일으키는 시스템이 임의로 선택된 초기 순간과 동일한 상태로 다시 돌아가는 가장 작은 시간입니다.

즉, 진동주기( 티) 하나의 완전한 진동이 발생하는 시간입니다. 예를 들어, 아래 그림에서 이것은 진자의 무게가 가장 오른쪽 점에서 평형점을 통해 이동하는 시간입니다. 영형가장 왼쪽 지점으로 갔다가 다시 지점을 통해 영형다시 맨 오른쪽으로.

따라서 전체 진동 기간 동안 몸체는 4개의 진폭과 동일한 경로를 이동합니다. 진동 주기는 초, 분 등의 시간 단위로 측정됩니다. 진동 주기는 잘 알려진 진동 그래프에서 확인할 수 있습니다(아래 그림 참조).

엄밀히 말하면 "진동 주기"의 개념은 진동량의 값이 일정 시간 후에 정확히 반복될 때, 즉 고조파 진동에 대해서만 유효합니다. 그러나 이 개념은 예를 들어 다음과 같이 대략적으로 반복되는 양의 경우에도 적용됩니다. 감쇠 진동.

진동 주파수.

진동 주파수는 단위 시간당 진동 수입니다(예: 1초).

주파수의 SI 단위는 헤르츠(Hz) 독일 물리학자 G. Hertz(1857-1894)에게 경의를 표합니다. 진동 주파수( V) 와 동등하다 1 Hz, 그러면 이것은 1초에 한 번의 진동이 발생함을 의미합니다. 진동의 주파수와 주기는 다음 관계와 관련이 있습니다.

진동 이론에서 개념도 사용됩니다. 주기적, 또는 순환 주파수 ω . 정상 주파수와 관련이 있습니다. V및 진동주기 티비율:

.

주기 주파수는 진동 수입니다. 2π초.

헤르츠(러시아어 명칭: Hz; 국제적인: Hz), 독일 물리학자 하인리히 헤르츠의 이름을 따서 명명되었습니다.

주파수는 진동 주기에 반비례합니다. ν = 1/티 .

빈도	1MHz(10-3Hz)	1Hz(100Hz)	1kHz(103Hz)	1MHz(106Hz)	1GHz(109Hz)	1THz(1012Hz)
기간	1ks(10 3초)	1초(100초)	1ms(10-3초)	1μs(10-6s)	1ns(10-9s)	1ps(10-12초)

주기적인 과정은 자연에서 ~10 -16 Hz(은하 중심 주위의 태양 회전 주파수)에서 ~1035 Hz(가장 고에너지 우주선의 특징적인 자기장 진동 주파수) 범위의 주파수로 알려져 있습니다. .

관련 동영상

원형 주파수

각 주파수의 단위로 초당 각도를 사용하는 경우 일반 주파수와의 관계는 다음과 같습니다. ω \u003d 360 ° ν.

수치적으로 원형 주파수는 2π초 동안의 진동(회전) 수와 같습니다. 원형 주파수(기본 차원 - 초당 라디안)의 도입으로 이론 물리학 및 전자공학의 많은 공식을 단순화할 수 있습니다. 따라서 진동 LC 회로의 공진 원형 주파수는 다음과 같습니다. ω L C = 1 / L C , (\displaystyle \omega _(LC)=1/(\제곱(LC)),)주기적으로 공진 주파수 ν L C = 1 / (2 π L C) . (\displaystyle \nu _(LC)=1/(2\pi (\sqrt (LC))).)동시에 많은 다른 공식이 더 복잡해집니다. 순환 주파수를 선호하는 결정적인 고려 사항은 승수 2 π (\displaystyle 2\pi )그리고 1 / 2 π (\displaystyle 1/2\pi ), 라디안을 사용하여 각도와 위상을 측정할 때 많은 공식에 나타나는 는 원형(각) 주파수가 도입되면 사라집니다.

역학에서 회전 운동을 고려할 때 원형 주파수의 유사체는 각속도입니다.

이산 이벤트 빈도

불연속 사건의 빈도(예: 펄스 반복률)는 단위 시간당 발생하는 불연속 사건의 수와 동일한 물리량입니다. 불연속 사건의 빈도 단위는 1도에서 1도의 초입니다(러시아어 지정: s -1; 국제적인: s−1). 빈도 1 s −1 은 1초 동안 하나의 이벤트가 발생하는 이산 이벤트의 빈도와 같습니다.

회전 빈도

회전 속도는 단위 시간당 전체 회전 수와 동일한 물리량입니다. 회전 속도의 단위는 2의 마이너스 1승( s -1, s−1), 초당 회전수. 자주 사용되는 단위는 분당 회전수, 시간당 회전수 등입니다.

주파수와 관련된 기타 수량

단위

SI 시스템에서 순환 주파수의 단위는 헤르츠(Hz, Hz)입니다. 이 단위는 원래 1930년에 국제 전기 기술 위원회(International Electrotechnical Commission)에 의해 도입되었으며 1960년에 SI 단위로 제11차 도량형 총회에서 일반 용도로 채택되었습니다. 그 전에 순환 주파수의 단위는 초당 사이클(초당 1 사이클 \u003d 1 Hz) 및 파생 상품 (초당 킬로 사이클, 초당 메가 사이클, 초당 킬로메가 사이클, 각각 킬로 헤르츠, 메가 헤르츠 및 기가 헤르츠와 동일).

도량형 측면

주파수를 측정하기 위해 다음을 포함하여 다양한 유형의 주파수 측정기가 사용됩니다. 펄스 반복률 측정 - 전자 카운팅 및 커패시터, 스펙트럼 구성 요소의 주파수 결정 - 공진 및 헤테로다인 주파수 측정기, 스펙트럼 분석기. 주어진 정확도로 주파수를 재현하기 위해 주파수 표준(고정확도), 주파수 합성기, 신호 발생기 등 다양한 측정이 사용됩니다. 주파수 비교기로 주파수를 비교하거나 Lissajous 수치를 사용하여 오실로스코프를 사용합니다.

표준

국가 주파수 표준은 주파수 측정 장비를 교정하는 데 사용됩니다. 러시아의 국가 주파수 표준에는 다음이 포함됩니다.

• 시간 단위의 주 기본 표준, 빈도 및 국가 시간 척도 GET 1-98은 VNIIFTRI에 있습니다.
• 시간 및 주파수 단위의 이차 표준 VET 1-10-82- SNIIM(노보시비르스크)에 위치.

컴퓨팅

반복 이벤트의 빈도 계산은 주어진 기간 동안 이 이벤트의 발생 횟수를 고려하여 수행됩니다. 결과 금액을 해당 기간의 기간으로 나눕니다. 예를 들어, 15초 이내에 71개의 동종 이벤트가 발생한 경우 빈도는 다음과 같습니다.

ν = 71 15초 ≈ 4.7Hz(\displaystyle \nu =(\frac (71)(15\,(\mbox(s))))\약 4.7\,(\mbox(Hz)))

획득한 샘플 수가 적다면 주어진 시간 간격 내에서 이벤트 수를 찾는 것보다 해당 이벤트가 주어진 횟수만큼 시간 간격을 측정하는 것이 더 정확한 기술입니다. 후자의 방법을 사용하면 0과 첫 번째 판독값 사이에 무작위 오류가 발생하여 판독값의 절반을 평균화합니다. 이로 인해 계산된 주파수 Δν = 1/(2)에서 평균 오차가 나타날 수 있습니다. 티엠) 또는 상대 오차 Δ ν /ν = 1/(2V티엠 ) , 어디티엠 는 시간 간격이고 ν는 측정된 주파수입니다. 오류는 주파수가 증가함에 따라 감소하므로 이 문제에 가장 중요합니다 저주파, 여기서 샘플 수 N 약간의.

측정 방법

스트로보스코프 방식

특수 장치인 스트로보스코프의 사용은 다양한 물체의 회전 속도 또는 진동을 측정하는 역사적으로 초기 방법 중 하나입니다. 측정 프로세스는 미리 보정된 타이밍 체인을 사용하여 주파수를 조정하는 스트로보스코프 광원(일반적으로 주기적으로 짧은 빛을 방출하는 밝은 램프)을 사용합니다. 광원은 회전하는 물체를 향하고 플래시 속도는 점차적으로 변경됩니다. 섬광의 주파수가 물체의 회전 또는 진동 주파수와 같을 때, 후자는 완전한 진동 주기를 완료하고 두 섬광 사이의 간격으로 원래 위치로 돌아갈 시간이 있으므로 스트로브 램프에 의해 조명될 때, 이 물체는 정지된 것처럼 보일 것입니다. ~에 이 방법그러나 단점이 있습니다. 객체의 회전 주파수( 엑스) 스트로브 주파수( 와이), 그러나 정수 계수(2 엑스 , 3엑스등), 조명을 받았을 때 물체는 여전히 고정된 것처럼 보입니다.

스트로보스코프 방법은 속도(진동)를 미세 조정하는 데도 사용됩니다. 이 경우 깜박임의 빈도는 고정되어 있고 물체의 주기적인 이동 빈도는 물체가 정지해 보이기 시작할 때까지 변경됩니다.

비트 방식

스트로보스코프 방식에 가까운 것은 비트 방식입니다. 두 주파수의 진동을 혼합할 때(참조 ν 측정 가능한 ν" 1 ) 비선형 회로에서 차 주파수 Δν = |ν − ν" 1 |, 비트 주파수라고 함(진동의 선형 추가로, 이 주파수는 전체 진동의 엔벨로프의 주파수임). 이 방법은 Δ의 주파수로 저주파 진동을 측정하는 것이 더 바람직한 경우에 적용할 수 있습니다. 에프. 무선 공학에서는 이 방법을 헤테로다인 주파수 측정 방법이라고도 합니다. 특히, 비트 방식은 악기를 미세 조정하는 데 사용됩니다. 이 경우 튜닝된 악기의 사운드와 동시에 들리는 고정 주파수의 사운드 진동(예: 소리굽쇠)은 전체 사운드의 주기적 증폭 및 감쇠를 생성합니다. 악기를 미세 조정하면 이러한 비트의 주파수가 0이 되는 경향이 있습니다.

주파수 측정기 응용

고주파는 일반적으로 주파수 측정기를 사용하여 측정됩니다. 특정 반복 신호의 주파수를 평가하여 그 결과를 디지털 디스플레이 또는 아날로그 표시기에 표시하는 전자 기기입니다. 디지털 주파수 측정기의 개별 논리 요소를 사용하면 기준 석영 클록에서 계산된 주어진 시간 내 신호 진동 주기 수를 고려할 수 있습니다. 본질적으로 전기가 아닌 주기적인 프로세스(예: 축 회전, 기계적 진동 또는 음파)는 측정 변환기를 사용하여 주기적인 전기 신호로 변환될 수 있으며 이러한 형태로 주파수 측정기의 입력에 공급됩니다. . 현재 이러한 유형의 장치는 최대 100Hz 범위를 커버할 수 있습니다. 이 표시기는 직접 계산 방법의 실제 한도를 나타냅니다. 더 높은 주파수는 이미 간접적인 방법으로 측정됩니다.

간접 측정 방법

주파수 카운터에서 사용할 수 있는 범위를 벗어나는 전자기 신호의 주파수는 종종 국부 발진기(즉, 주파수 변환기)를 사용하여 간접적으로 추정됩니다. 미리 결정된 주파수의 기준 신호는 주파수가 설정될 신호와 비선형 믹서(예: 다이오드 등)에서 결합됩니다. 결과는 헤테로다인 신호 또는 - 대안적으로 - 두 개의 원래 신호 사이의 주파수 차이에 의해 생성된 비트입니다. 후자가 서로 충분히 가깝다면 주파수 특성, 그러면 헤테로다인 신호는 동일한 주파수 측정기로 측정할 수 있을 만큼 충분히 작습니다. 따라서 이 과정의 결과 미지 주파수와 기준 주파수의 차이만 추정되며, 이는 다른 방법으로 결정되어야 한다. 더 높은 주파수를 커버하기 위해 여러 믹싱 단계를 사용할 수 있습니다. 이 방법을 적외선 및 가시광선 주파수(소위 광학 헤테로다인 검출)로 확장하기 위한 연구가 현재 진행 중입니다.

예

전자기 방사선

전용 가시 부분이 있는 전자파의 전체 스펙트럼

가시광선은 진동하는 전기장과 자기장으로 구성된 전자기파로 공간을 통과합니다. 파동의 주파수는 색상을 결정합니다. 4 × 10 14 Hz - 빨간색, 8 × 10 14 Hz - 보라색; (4...8)×10 14 Hz 범위의 그들 사이에는 무지개의 다른 모든 색상이 있습니다. 4×10 14 Hz 미만의 주파수를 갖는 전자파는 인간의 눈에는 보이지 않으며, 이러한 파동을 적외선(IR) 복사라고 한다. 스펙트럼 아래에는 마이크로파 복사와 전파가 있습니다. 8×10 14 Hz보다 높은 주파수의 빛도 사람의 눈에는 보이지 않습니다. 이러한 전자기파를 자외선(UV) 복사라고 합니다. 주파수가 증가함에 따라 전자기파는 x-선 방사선이 위치한 스펙트럼 영역으로, 더 높은 주파수에서는 감마선 영역으로 전달됩니다.

전파의 가장 낮은 주파수에서 감마선의 높은 주파수에 이르기까지 이러한 모든 파동은 기본적으로 동일하며 모두 전자파라고 합니다. 그들 모두는 빛의 속도로 진공에서 전파됩니다.

전자기파의 또 다른 특성은 파장입니다. 파장은 주파수에 반비례하므로 주파수가 높은 전자파는 파장이 짧고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 진공 상태에서 파장

λ = c / ν , (\displaystyle \lambda =c/\nu ,)

어디 와 함께는 진공에서 빛의 속도입니다. 전자파 전파의 위상 속도가 있는 환경에서 씨'는 진공에서 빛의 속도와 다릅니다( 씨′ = c/n, 어디 N- 굴절률), 파장과 주파수 사이의 관계는 다음과 같습니다.

λ = c n ν . (\displaystyle \lambda =(\frac (c)(n\nu )).)

파동의 또 다른 자주 사용되는 특성은 단위 길이당 적합한 파동의 수와 동일한 파수(공간 주파수)입니다. 케이= 1/λ . 때때로 이 값은 순환 및 순환 주파수와 유추하여 계수 2π와 함께 사용됩니다. 케이 s = 2π/λ . 매체에서 전자파의 경우

k = 1 / λ = n ν c . (\displaystyle k=1/\lambda =(\frac (n\nu )(c)).) k s = 2 π / λ = 2 π n ν c = n ω c . (\displaystyle k_(s)=2\pi /\lambda =(\frac (2\pi n\nu )(c))=(\frac (n\omega )(c)).)

소리

소리의 속성(매질의 기계적 탄성 진동)은 주파수에 따라 다릅니다. 사람은 20Hz ~ 20kHz의 주파수로 진동을들을 수 있습니다 (나이가 들면 가청 주파수의 상한이 감소합니다). 20Hz보다 낮은 주파수의 소리(음표에 해당) 미

6. 망설임

6.1.기본 개념 및 법칙

다음과 같은 경우 운동을 주기적이라고 합니다.

x(t) = x(t + T ) , 여기서 T

주저

주기적

교통

평형 위치. 그림 6.1 c에서

품질

묘사

정기 간행물

비고조파

변동

식량

평형

x0 = 0.

기간 T는

헌신적인

주저.

단위 시간당 진동

순환(순환) 주파수

ω= 2 πν =

고조파

변위가 발생하는 진동이라고 합니다.

시간에 따른 평형 위치에서

사인 또는 코사인의 법칙에 따라 다름

x = A sin(ω0 t + α)

어디 A

진동 진폭(최대 포인트 오프셋

평형 위치), ω 0 - 고조파 진동의 원형 주파수, ω 0 t + α - 위상, α - 초기 위상(t = 0에서).

고조파 진동을 수행하는 시스템을

클래식 고조파 발진기 또는 진동

체계.
속도					가속		고조파 진동
법에 따라 변경
		X = A ω0 cos (ω0 t + α) ,
	d2x
					= −A ω0 sin (ω0 t + α) .
관계식 (6.6)과 (6.4)에서 우리는 다음을 얻습니다.
a = −ω 2 x ,

고조파 진동 동안 가속도는 평형 위치에서 점의 변위에 정비례하고 변위와 반대 방향으로 향합니다.

방정식 (6.6), (6.7)에서 우리는 다음을 얻습니다.

	+ ω0 x = 0 .

식 (6.8)은고조파 진동의 미분 방정식 , 그리고 (6.4)는 그 해법이다. 대체

(6.7) 뉴턴의 두 번째 법칙 F = m r , 우리는 조화 진동이 발생하는 힘을 얻습니다.

평형 위치에서 점의 변위에 정비례하고 변위와 반대 방향으로 향하는 이 힘을 복원력이라고 하고, k를 복원력 계수. 이 속성에는 탄력성이 있습니다. 법(6.11)에 따라 다른 물리적 성질의 힘,

준탄성이라고 합니다.

가지고 있는 힘의 작용으로 발생하는 진동

재산			~라고 불리는	소유하다	(무료
고조파 진동.
관계식 (6.3), (6.10)에서 우리는 순환 주파수와 주기를 얻습니다.
이러한 변동
		T = 2π

조화 진동의 경우 법칙(6.4)에 따라 시간에 대한 운동 에너지와 잠재적 에너지의 의존성은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

mA2 ω 0

코스 2 (ω t + α) ,

mA2 ω 0

죄 2 (ω t + α) .

고조파 진동 과정의 총 에너지는 보존됩니다.

	EK + U = const .
	x 및 v에 대한 식 (6.4) 및 (6.5)를 (6.15)에 대입하면 다음을 얻습니다.
	E = E K 최대 = U 최대			mA2 ω 2
	고전의 예					고조파
	오실레이터는 가벼운 스프링이며,
	질량 m의 매달린 하중				(그림 6.2). 계수
	복원력 k를 계수라고 합니다.
	스프링 강성.		뉴턴의 제2법칙으로부터
	화물용	봄에				– 우리가 얻는 kx
	방정식,	일치하는
	미분		방정식			고조파
	진동(6.8) 결과적으로 스프링에 가해지는 하중
	환경 저항 세력이 없을 때,
	고조파 진동을 수행합니다(6.4).
	고조파			변동

크기가 진폭 A와 동일한 벡터의 좌표축에 대한 투영으로 표현하고 각속도 ω 0 으로 원점을 중심으로 회전합니다. 이 보기는 방법을 기반으로 합니다.

벡터 도표고조파 진동 추가
동일한 축을 따라 발생하는 동일한 주파수
x 1 \u003d A 1 죄 (ω t + ϕ 1),
x 2 \u003d A 2 sin (ω t + ϕ 2 ) .
결과 진동의 진폭은 다음과 같이 결정됩니다.
코사인 정리				− 2A A 코스(ϕ −ϕ
결과 진동 ϕ의 초기 단계											아마도
공식에서 찾은
tgϕ =		A 1 죄 ϕ 1 + A 2 죄 ϕ 2
		A cosϕ + A cosϕ
닫기로 단방향 진동을 추가할 때
주파수 ω 1 및 ω 2				비트가 발생하며, 그 빈도는 ω 1 − ω 2 입니다.

궤적 방정식 2에 참여하는 포인트서로 수직인 진동

x = A 1 sin ((ω t + ϕ 1 ) ) , (6.20) y = A 2 sin ω t + ϕ 2

형태가 있다

− 2

cos (ϕ−ϕ

) = 죄 2 (ϕ

−ϕ ) .

초기 위상 ϕ 1 = ϕ 2이면 궤적 방정식은 직선

x 또는 y = −

ϕ = ϕ1 − ϕ2 = π 2 ,

차이점

점이 타원에서 이동

물리적 진자 단단한 몸이다

할 수 있는

저지르다

변동

한 점을 지나는 고정 축

일치하는

(그림 6.3). 진동은 고조파

작은 편향각에서.

축에 대한 중력 모멘트,

통과

~이다

돌아오는

순간

표현

비율

M = mgd 죄

ϕ ≈ mgd ϕ.

회전 운동의 역학에 대한 기본 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다(식(4.18) 참조).

M = 나는 ε , (6.23)

여기서 I는 점 O를 통과하는 축에 대한 진자의 관성 모멘트이고, ε은 각가속도입니다.

(6.23), (6.22)에서 우리는 물리적 진자의 조화 진동의 미분 방정식을 얻습니다.

		d 2 ϕ			ϕ = 0 .
	해 ϕ = ϕ 0 sin ω 0 t ,
			mgd.

(6.3)에서 우리는 물리적 진자의 진동 주기에 대한 공식을 얻습니다.

T = 2 π I .		M = − c ϕ . 복원 모멘트 계수는 와이어 재질 및 치수에 따라 다릅니다. 여기서 G는 재료의 탄성 특성을 나타내는 전단 계수, r은 와이어의 반경, L은 길이입니다. 회전 역학의 기본 방정식 움직임은 형태를 갖는다
그 해의 형식은 ϕ = ϕ 0 sin (ω 0 t + α ),

여기서 ϕ는 평형 위치로부터의 각 변위이고, ϕ 0은 진폭입니다.

변동.

방정식 (6.8)과 (6.32)를 비교하여 비틀림 진동의 각 주파수와 주기 값을 얻습니다.

T = 2π

자유 진동은 저항력의 존재로 인해 감쇠됩니다. 예를 들어, 점성 매체에서 물질 점이 진동할 때 저속에서 힘이 작용합니다.

저항											r - 계수
					중간 F 저항 = − rv	= -rx ,
환경 저항. 따라서 뉴턴의 제2법칙으로부터
mx = − kx − rx
감쇠 진동의 미분 방정식을 얻습니다.
	M x + m x = 0 .
다음 경우에 대한 그의 솔루션
											형태가 있다
x = A e−β t				죄(ω t + α ) ,

정의

측정하다 진동 운동순환(또는 각진 또는 원형) 역할을 합니다. 진동 주파수.

이것은 스칼라 물리량입니다.

고조파 진동의 주기 주파수

물질 포인트가 진동을 일으키게 하십시오. 이 경우 재료 점은 일정한 간격으로 동일한 위치를 통과합니다.

가장 단순한 진동은 조화 진동입니다. 다음 운동학적 모델을 고려하십시오. 일정한 속도($v$)를 갖는 점 M은 반경 A의 원을 따라 이동합니다. 이 경우 각속도는 $(\omega )_0$로 표시되며 이 속도는 일정합니다(그림 1).

X축에서 원의 지름에 대한 점 $M$의 투영(점 $N$)은 $N_1$에서 $N_2\ $로 또는 그 반대로 진동합니다. 그러한 진동 N은 고조파가 될 것입니다. 점 N의 변동을 설명하려면 점 N의 좌표를 시간의 함수($t$)로 기록해야 합니다. $t=0$의 경우 반지름 OM이 X축과 $(\varphi )_0$의 각도를 형성합니다. 일정 시간이 지나면 이 각도는 $(\omega )_0t$만큼 변경되고 $(\omega )_0t+(\varphi )_0$와 같게 됩니다. 그러면 다음과 같습니다.

식 (1)은 직경 $N_1N_2$를 따라 점 N의 고조파 진동을 기록하는 해석적 형식입니다.

식 (1)로 돌아가 보자. $A$의 값은 평형 위치(점 O - 원의 중심)에서 진동하는 점의 최대 편차이며 진동의 진폭이라고 합니다.

매개변수 $(\omega )_0$ - 순환 발진 주파수. $\varphi =((\omega )_0t+(\varphi )_0$) - 진동 위상; $(\varphi )_0$ - 진동의 초기 단계.

고조파 진동의 주기적 주파수는 시간에 대한 진동 위상의 편미분으로 정의할 수 있습니다.

\[(\오메가 )_0=\frac(?\varphi )(\partial t)=\dot(\varphi )\left(2\right).\]

$(\varphi )_0=0$에서 진동 방정식 (1)은 다음과 같이 변환됩니다.

진동의 초기 위상이 $(\varphi )_0=\frac(\pi )(2)$ 이면 다음 형식의 진동 방정식을 얻습니다.

식 (3)과 (4)는 조화 진동에서 가로 좌표 $x$가 시간의 사인 또는 코사인 함수임을 보여줍니다. ~에 그래픽 이미지고조파 진동, 코사인파 또는 정현파가 얻어진다. 곡선의 모양은 진동의 진폭과 순환 주파수 값에 의해 결정됩니다. 곡선의 위치는 초기 단계에 따라 다릅니다.

순환 발진 주파수는 발진 주기(T)로 나타낼 수 있습니다.

\[(\오메가 )_0=\frac(2\pi )(T)\왼쪽(5\오른쪽).\]

순환 주파수를 다음 식으로 주파수 $?$$?$와 연결해 보겠습니다.

\[(\오메가 )_0=2\파이 \nu \ \left(6\right).\]

국제 단위계(SI)의 순환 주파수 단위는 라디안을 초로 나눈 값입니다.

\[\left[(\omega )_0\right]=\frac(rad)(s).\]

주기적 주파수의 차원:

\[(\dim \left((\omega )_0\right)=\frac(1)(t),\ )\]

여기서 $t$는 시간입니다.

주기적 주파수 계산 공식의 특수한 경우

스프링의 하중(스프링 진자가 이상적인 모델임)은 다음과 같은 원형 주파수로 조화 진동을 수행합니다.

\[(\오메가 )_0=\sqrt(\frac(k)(m))\left(7\right),\]

$k$ - 스프링의 탄성 계수; $m$는 스프링에 가해지는 하중의 질량입니다.

물리적 진자의 작은 진동은 다음과 같은 순환 주파수를 갖는 대략적인 조화 진동입니다.

\[(\오메가 )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\left(8\right),\]

여기서 $J$는 회전축에 대한 진자의 관성 모멘트입니다. $a$ - 진자의 질량 중심과 서스펜션 지점 사이의 거리. $m$는 진자의 질량입니다.

물리적 진자의 예는 수학적 진자입니다. 진동의 원형 주파수는 다음과 같습니다.

\[(\오메가 )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(9\right),\]

여기서 $l$는 서스펜션의 길이입니다.

감쇠 진동의 각 주파수는 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

\[\오메가 =\sqrt((\오메가 )^2_0-(\델타 )^2)\왼쪽(10\오른쪽),\]

여기서 $\delta $는 감쇠 계수입니다. 진동 감쇠의 경우 $(\omega )_0$는 진동의 고유 각주파수라고 합니다.

솔루션 문제의 예

실시예 1

운동:다음과 같은 경우 고조파 진동의 주기적 주파수는 얼마입니까? 최대 속도재료 점은 $(\dot(x))_(max)=10\ \frac(cm)(s)$이고 최대 가속도는 $(\ddot(x))_(max)=100\입니다. \frac(cm)(s^2)$?

해결책:문제 해결의 기초는 X 축을 따라 발생하는 조건에서 분명하기 때문에 점의 고조파 진동 방정식이 될 것입니다.

방정식 (1.1)과 $x$ 좌표와 해당 속도 성분의 운동학적 관계를 사용하여 진동 속도를 찾습니다.

최대 속도 값(속도 진폭)은 다음과 같습니다.

점의 가속도를 다음과 같이 계산합니다.

공식 (1.3)에서 진폭을 표현하고 (1.5)에 대입하면 순환 주파수를 얻습니다.

\[(\dot(x))_(max)=A(\omega )_0\to A=\frac((\dot(x))_(max))((\omega )_0);;\ ( \ddot(x))_(최대)=A(w_0)^2=\frac((\dot(x))_(최대))(w_0)(w_0)^2\to w_0=\frac((\ ddot(x))_(최대))((\dot(x))_(최대)).\]

순환 주파수를 계산해 보겠습니다.

\[w_0=\frac(100)(10)=10(\frac(rad)(s)).\]

대답:$w_0=10\frac((\rm rad))((\rm c))$

실시예 2

운동:무게가 같은 두 개의 추가 무중력 긴 막대에 고정되어 있습니다. 로드 중 하나는 로드 중앙에 있고 다른 로드는 로드 끝에 있습니다(그림 2). 시스템은 로드의 자유단을 통과하는 수평축을 중심으로 진동합니다. 진동의 주기적인 주파수는 얼마입니까? 막대의 길이는 $l$입니다.

해결책:문제 해결의 기초는 물리적 진자의 진동 주파수를 찾는 공식입니다.

\[(\오메가 )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\left(2.1\right),\]

여기서 $J$는 회전축에 대한 진자의 관성 모멘트입니다. $a$ - 진자의 질량 중심과 서스펜션 지점 사이의 거리. $m$는 진자의 질량입니다. 진자의 질량은 문제의 조건에 따라 두 개의 동일한 공의 질량으로 구성됩니다(한 공의 질량은 $\frac(m)(2)$입니다). 우리의 경우 거리 $a$는 점 O와 C 사이의 거리와 같습니다(그림 2 참조).

두 점 질량 시스템의 관성 모멘트를 구합시다. 질량 중심을 기준으로(회전 축이 점 C를 통해 그려진 경우) 시스템의 관성 모멘트($J_0$)는 다음과 같습니다.

점 O를 통과하는 축에 대한 시스템의 관성 모멘트는 슈타이너 정리를 사용하여 찾을 수 있습니다.

식 (2.2)와 (2.4)의 올바른 부분을 해당 수량 대신 (2.1)로 대체합시다.

\[(\오메가 )_0=\sqrt(\frac(mg\frac(3)(4)l\ )(\frac(5)(8)ml^2))=\sqrt(\frac(6g)( 5l)).\]

대답:$(\오메가 )_0=\sqrt(\frac(6g)(5l))$

따라서 고조파 진동의 총 에너지는 일정하고 변위 진폭의 제곱에 비례합니다. . 이것은 고조파 진동의 특성 중 하나입니다. 여기서 상수 계수 k는 용수철 진자의 경우 용수철의 강성을 의미하며, 수학적 진자의 경우 k=mgH이다. 두 경우 모두 계수 k는 진동 시스템의 매개변수에 의해 전송됩니다.

기계적 진동 시스템의 총 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지로 구성되며 다음 두 구성 요소의 최대값과 같습니다.

따라서 진동의 총 에너지는 변위 진폭의 제곱 또는 속도 진폭의 제곱에 정비례합니다.

공식에서:

변위 진동의 진폭 x m을 결정할 수 있습니다.

자유 진동 동안의 변위 진폭은 시스템이 평형에서 벗어났을 때 초기 순간에 진동 시스템에 전달된 에너지의 제곱근에 정비례합니다.

기계적 자유 진동의 운동학

1 변위, 속도, 가속도.자유 진동의 운동학적 특성(변위, 속도 및 가속도)을 찾기 위해 이상적인 기계적 진동 시스템에 대해 다음과 같이 작성되는 에너지 보존 및 변환 법칙을 사용합니다.

시간 미분 φ "가 일정하기 때문에 각도 φ는 시간에 선형적으로 의존합니다.

이를 염두에 두고 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

x = x m sin ω 0 t, υ = x m ω 0 cos ω 0 t

여기서 값

는 속도 변화의 진폭입니다.

υ = υ m 코스 ω 0 t

순간 가속도 값의 의존성 ㅏ시간 t에서 우리는 시간에 대한 속도 υ의 미분으로 찾습니다.

a = υ " = - ω 0 υ m sin ω 0 t,

a = -am sin ω 0 t

결과 공식의 "-"기호는 진동이 발생하는 축에 대한 가속도 벡터 투영의 부호가 변위 x의 부호와 반대임을 나타냅니다.

그래서 우리는 조화 진동으로 변위뿐만 아니라 속도와 가속도가 사인파로 변한다는 것을 알 수 있습니다. .

2 주기적 발진 주파수.ω 0 값을 순환 발진 주파수라고 합니다. 함수 sin α는 인수 α에서 2π의 주기를 갖고 고조파 진동은 시간상 주기 T를 가지므로,