Соответствующий этому слову, от формальной переменной x . Видно, что это соответствие не просто взаимнооднозначное, но и изоморфное . Так как «слова» состоят из букв из поля, то их можно складывать и умножать (поэлементно), причём результат будет в том же поле. Полином, соответствующий линейной комбинации пары слов и , равен линейной комбинации полиномов этих слов

Это позволяет рассматривать множество слов длины n над конечным полем как линейное пространство полиномов со степенью не выше n-1 над полем

Алгебраическое описание

Если кодовое слово, получающееся циклическим сдвигом на один разряд вправо из слова , то ему соответствующий полином c 1 (x ) получается из предыдущего умножением на x:

Пользуясь тем, что ,

Сдвиг вправо и влево соответственно на j разрядов:

Если m (x ) - произвольный полином над полем G F (q ) и c (x ) - кодовое слово циклического (n ,k ) кода, то m (x )c (x )m o d (x n − 1) тоже кодовое слово этого кода.

Порождающий полином

Определение Порождающим полиномом циклического (n ,k ) кода C называется такой ненулевой полином из C , степень которого наименьшая и коэффициент при старшей степени g r = 1 .

Теорема 1

Если C - циклический (n ,k ) код и g (x ) - его порождающий полином, тогда степень g (x ) равна r = n − k и каждое кодовое слово может быть единственным образом представлено в виде

c (x ) = m (x )g (x ) ,

где степень m (x ) меньше или равна k − 1 .

Теорема 2

g (x ) - порождающий полином циклического (n ,k ) кода является делителем двучлена x n − 1

Следствия: таким образом в качестве порождающего полинома можно выбирать любой полином, делитель x n − 1 . Степень выбранного полинома будет определять количество проверочных символов r , число информационных символов k = n − r .

Порождающая матрица

Полиномы линейно независимы, иначе m (x )g (x ) = 0 при ненулевом m (x ) , что невозможно.

Значит кодовые слова можно записывать, как и для линейных кодов, следущим образом:

, где G является порождающей матрицей , m (x ) - информационным полиномом.

Матрицу G можно записать в символьной форме:

Проверочная матрица

Для каждого кодового слова циклического кода справедливо . Поэтому проверочную матрицу можно записать как:

Кодирование

Несистематическое

При несистематическом кодирование кодовое слово получается в виде произведения информационного полинома на порождающий

c (x ) = m (x )g (x ) .

Оно может быть реализовано при помощи перемножителей полиномов.

Систематическое

При систематическом кодировании кодовое слово формируется в виде информационного подблока и проверочного

Пусть информационное слово образует старшие степени кодового слова, тогда

c (x ) = x r m (x ) + s (x ),r = n − k

Тогда из условия , следует

Это уравнение и задает правило систематичекого кодирования. Оно может быть реализовано при помощи многотактных линейных фильтров(МЛФ)

Примеры

Двоичный (7,4,3) код

В качестве делителя x 7 − 1 выберем порождающий полином третьей степени g (x ) = x 3 + x + 1 , тогда полученный код будет иметь длину n = 7 , число проверочных символов (степень порождающего полинома) r = 3 , число информационных символов k = 4 , минимальное расстояние d = 3 .

Порождающая матрица кода:

,

где первая строка представляет собой запись полинома g (x ) коэффициентами по возрастанию степени. Остальные строки - циклические сдвиги первой строки.

Проверочная матрица:

,

где i-ый столбец, начиная с 0-ого, представляет собой остаток от деления x i на полином g (x ) , записанный по возрастанию степеней, начиная сверху.

Так, например, 3-ий столбец получается , или в векторной записи .

Легко убедиться, что G H T = 0 .

Двоичный (15,7,5) БЧХ код

В качестве порождающего полинома g (x ) можно выбрать произведение двух делителей x 15 − 1 ^

g (x ) = g 1 (x )g 2 (x ) = (x 4 + x + 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) = x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + 1 .

Тогда каждое кодовое слово можно получить с помощью произведения информационного полинома m (x ) со степенью k − 1 таким образом:

c (x ) = m (x )g (x ) .

Например, информационному слову соответствует полином m (x ) = x 6 + x 5 + x 4 + 1 , тогда кодовое слово c (x ) = (x 6 + x 5 + x 4 + 1)(x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + 1) = x 14 + x 12 + x 9 + x 7 + x 5 + 1 , или в векторном виде

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Циклические коды" в других словарях:

укороченные циклические коды - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN shortened cyclic codes …

Недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида Соломона, работающие с байтами (октетами). Код Рида Соломона является … Википедия

коды Голея - Семейство совершенных линейных блоковых кодов с исправлением ошибок. Наиболее полезным является двоичный код Голея. Известен также троичный код Голея. Коды Голея можно рассматривать как циклические коды. … … Справочник технического переводчика

Обнаружение ошибок в технике связи действие, направленное на контроль целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи. Исправление ошибок (коррекция ошибок) процедура восстановления информации после… … Википедия

Обнаружение ошибок в технике связи действие, направленное на контроль целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи. Исправление ошибок (коррекция ошибок) процедура восстановления информации после… … Википедия

Это подкласс линейных кодов, обладающих гем свойством, что циклическая перестановка символов в кодированном блоке дает другой возможный кодированный блок того же кода. Циклические коды основаны на применении идей алгебраической теории полей Галуа1.

Многие важнейшие помехоустойчивые коды систем связи, -

в частности циклические, основаны на структурах конечных Арифметика

полей Галуа. Полем называется множество элементов, которые конечного поля

звания операций взяты в кавычки, потому что они не всегда являются общепринятыми арифметическими операциями. В поле всегда имеется нулевой элемент (0), или нуль, и единичный элемент (1), или единица. Если число q элементов поля ограничено, то поле называется конечным полем , или конечным полем Галуа , и обозначается GF(q) y где q - порядок поля. Наименьшим полем Галуа является двухэлементное иоле GF(2), состоящее всего из двух элементов 1 и 0. Для того чтобы

1 Эварист Галуа (Evariste Galois, 1811 - 1832) - французский математик, заложил основы современной алгебры.

выполнение операций над элементами GF(2) не приводило к выходу за пределы этого поля, они осуществляются по модулю 2 (вообще это определяется порядком поля для простых полей Галуа).

Поле обладает рядом специфических математических свойств. Для элементов поля определены операции сложения и умножения, причем результаты этих операций должны принадлежать этому же множеству.

Для операций сложения и умножения выполняются обычные математические правила ассоциативности - а + (Ь + с) = (а + Ь) + с, коммутативности - а + b = b + а и а b = b а и дистрибутивности - а (Ь + с) = а b + а с.

Для каждого элемента поля а должны существовать обратный элемент по сложению (-а) и, если а не равно нулю, обратный элемент по умножению (й ’).

Поле должно содержать аддитивную единицу - элемент 0, такой, что а + 0 = а для любого элемента поля а.

Поле должно содержать мультипликативную единицу - элемент 1, такой, что аЛ = а для любого элемента поля а.

Например, существуют поля вещественных чисел, рациональных чисел, комплексных чисел. Эти поля содержат бесконечное число элементов.

Фактически все наборы, образованные циклической перестановкой кодовой комбинации, также являются кодовыми комбинациями. Так, например, циклические перестановки комбинации 1000101 будут также кодовыми комбинациями 0001011, 0010110, 0101100 и т.д. Это свойство позволяет в значительной степени упростить кодирующее и декодирующее устройства, особенно при обнаружении ошибок и исправлении одиночной ошибки. Внимание к циклическим кодам обусловлено тем, что присущие им высокие корректирующие свойства реализуют на основе сравнительно простых алгебраических методов. В то же время для декодирования произвольного линейного блокового кода чаще применяют табличные методы, требующие большой объем памяти декодера.

Циклическим кодом называется линейный блоковый (п, k)- код, который характеризуется свойством цикличности, т.е. сдвиг влево на один шаг любого разрешенного кодового слова дает также разрешенное кодовое слово, принадлежащее этому же коду, и у которого множество кодовых слов представляется совокупностью многочленов степени (п - 1) и менее, делящихся на порождающий многочлен g(x) степени r=n-k y являющийся сомножителем двучлена х п+

В циклическом коде кодовые слова представляют многочленами (полиномами)

где п - длина кода; A i - коэффициенты поля Галуа (значений кодовой комбинации).

Например, для кодовой комбинации 101101 полиномиальная запись имеет вид

Примерами циклических кодов являются коды с четной проверкой, коды с повторениями, коды Хемминга, PC-коды и турбокоды.

Код Хемминга . Возможности исправления ошибок в коде Хемминга связаны с минимальным кодовым расстоянием d 0 . Исправляются все ошибки кратности q = cnt(d 0 - l)/2 (здесь cnt означает «целая часть») и обнаруживаются ошибки кратности d 0 - 1. Так, при контроле на нечетность d Q = 2 и обнаруживаются одиночные ошибки. В коде Хемминга d 0 = 3. Дополнительно к информационным разрядам вводится L = log 2 Q избыточных контролирующих разрядов, где Q - число информационных разрядов. Параметр L округляется до ближайшего большего целого значения. L-разрядный контролирующий код есть инвертированный результат поразрядного сложения (сложения по модулю 2) номеров тех информационных разрядов, значения которых равны единице.

Пример 7.7

Пусть имеем основной код 100110, т.е. Q = 6. Определим дополнительный код.

Решение

Находим, что L = 3 и дополнительный код равен

где П - символ операции поразрядного сложения, и после инвертирования имеем 000. Теперь с основным кодом будет передан и дополнительный. В приемнике вновь рассчитывают дополнительный код и сравнивают с переданным. Фиксируется код сравнения, и если он отличен от нуля, то его значение есть номер ошибочно принятого разряда основного кода. Так, если принят код 100010, го рассчитанный дополнительный код равен инверсии от 010Ш10 = 100, т.е. 011, что означает ошибку в 3-м разряде.

Обобщением кодов Хемминга являются циклические коды БЧХ, которые позволяют корректировать многократные ошибки в принятой кодовой комбинации.

Коды Рида - Соломона базируются на полях Галуа, или конечных нолях. Арифметические действия сложение, вычитание, умножение, деление и г.д. над элементами конечного ноля дают результат, который также является элементом этого ноля. Кодировщик или декодер Рида - Соломона должен обязательно выполнять эти операции. Все операции для реализации кода требуют специального оборудования или специализированного программного обеспечения.

Турбокоды. Избыточные коды могут применяться как самостоятельно, так и в виде некоторого объединения нескольких кодов, когда наборы символов одного избыточного кода рассматриваются как элементарные информационные символы другого избыточного кода. Такое объединение стали называть каскадным кодом. Огромным достоинством каскадных кодов является то, что их применение позволяет упростить кодер и особенно декодер по сравнению с аналогичными устройствами некаскадных кодов той же длины и избыточности. Каскадное кодирование привело к созданию турбокодов. Турбокодом называют параллельную структуру сигнала, состоящую из двух или большего числа систематических кодов. Основной принцип их построения - использование нескольких параллельно работающих компонентных кодеров. В качестве компонентных можно использовать как блочные, так и сверточные коды, коды Хемминга, PC-код, БЧХ и др. Использование перфорации (выкалывания) позволяет увеличить относительную скорость турбокода, адаптировав его исправляющую способность к статистическим характеристикам канала связи. Принцип формирования турбокода состоит в следующем: входной сигнал х, состоящий из К бит, подается параллельно на N перемежителей. Каждый из последних представляет собой устройство, осуществляющее перестановку элементов в блоке из К бит в псевдослучайном порядке. Выходной сигнал с перемежителей - символы с измененным порядком следования - поступает на соответствующие элементарные кодеры. Двоичные последовательности х р i = 1,2,..., JV, на выходе кодера представляют собой проверочные символы, которые вместе с информационными битами составляют единое кодовое слово. Применение перемежителя позволяет предотвратить появление последовательностей коррелированных ошибок при декодировании турбокодов, что немаловажно при использовании традиционного в обработке рекурентного способа декодирования. В зависимости от выбора компонентного кода турбокоды делятся на сверточные турбокоды и блоковые коды-произведения.

Соответствующий этому слову, от формальной переменной x . Видно, что это соответствие не просто взаимнооднозначное, но и изоморфное . Так как «слова» состоят из букв из поля, то их можно складывать и умножать (поэлементно), причём результат будет в том же поле. Полином, соответствующий линейной комбинации пары слов и , равен линейной комбинации полиномов этих слов

Это позволяет рассматривать множество слов длины n над конечным полем как линейное пространство полиномов со степенью не выше n-1 над полем

Алгебраическое описание

Если кодовое слово, получающееся циклическим сдвигом на один разряд вправо из слова , то ему соответствующий полином c 1 (x ) получается из предыдущего умножением на x:

Пользуясь тем, что ,

Сдвиг вправо и влево соответственно на j разрядов:

Если m (x ) - произвольный полином над полем G F (q ) и c (x ) - кодовое слово циклического (n ,k ) кода, то m (x )c (x )m o d (x n − 1) тоже кодовое слово этого кода.

Порождающий полином

Определение Порождающим полиномом циклического (n ,k ) кода C называется такой ненулевой полином из C , степень которого наименьшая и коэффициент при старшей степени g r = 1 .

Теорема 1

Если C - циклический (n ,k ) код и g (x ) - его порождающий полином, тогда степень g (x ) равна r = n − k и каждое кодовое слово может быть единственным образом представлено в виде

c (x ) = m (x )g (x ) ,

где степень m (x ) меньше или равна k − 1 .

Теорема 2

g (x ) - порождающий полином циклического (n ,k ) кода является делителем двучлена x n − 1

Следствия: таким образом в качестве порождающего полинома можно выбирать любой полином, делитель x n − 1 . Степень выбранного полинома будет определять количество проверочных символов r , число информационных символов k = n − r .

Порождающая матрица

Полиномы линейно независимы, иначе m (x )g (x ) = 0 при ненулевом m (x ) , что невозможно.

Значит кодовые слова можно записывать, как и для линейных кодов, следущим образом:

, где G является порождающей матрицей , m (x ) - информационным полиномом.

Матрицу G можно записать в символьной форме:

Проверочная матрица

Для каждого кодового слова циклического кода справедливо . Поэтому проверочную матрицу можно записать как:

Кодирование

Несистематическое

При несистематическом кодирование кодовое слово получается в виде произведения информационного полинома на порождающий

c (x ) = m (x )g (x ) .

Оно может быть реализовано при помощи перемножителей полиномов.

Систематическое

При систематическом кодировании кодовое слово формируется в виде информационного подблока и проверочного

Пусть информационное слово образует старшие степени кодового слова, тогда

c (x ) = x r m (x ) + s (x ),r = n − k

Тогда из условия , следует

Это уравнение и задает правило систематичекого кодирования. Оно может быть реализовано при помощи многотактных линейных фильтров(МЛФ)

Примеры

Двоичный (7,4,3) код

В качестве делителя x 7 − 1 выберем порождающий полином третьей степени g (x ) = x 3 + x + 1 , тогда полученный код будет иметь длину n = 7 , число проверочных символов (степень порождающего полинома) r = 3 , число информационных символов k = 4 , минимальное расстояние d = 3 .

Порождающая матрица кода:

,

где первая строка представляет собой запись полинома g (x ) коэффициентами по возрастанию степени. Остальные строки - циклические сдвиги первой строки.

Проверочная матрица:

,

где i-ый столбец, начиная с 0-ого, представляет собой остаток от деления x i на полином g (x ) , записанный по возрастанию степеней, начиная сверху.

Так, например, 3-ий столбец получается , или в векторной записи .

Легко убедиться, что G H T = 0 .

Двоичный (15,7,5) БЧХ код

В качестве порождающего полинома g (x ) можно выбрать произведение двух делителей x 15 − 1 ^

g (x ) = g 1 (x )g 2 (x ) = (x 4 + x + 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) = x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + 1 .

Тогда каждое кодовое слово можно получить с помощью произведения информационного полинома m (x ) со степенью k − 1 таким образом:

c (x ) = m (x )g (x ) .

Например, информационному слову соответствует полином m (x ) = x 6 + x 5 + x 4 + 1 , тогда кодовое слово c (x ) = (x 6 + x 5 + x 4 + 1)(x 8 + x 7 + x 6 + x 4 + 1) = x 14 + x 12 + x 9 + x 7 + x 5 + 1 , или в векторном виде

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Циклические формы в музыке
• Цикличные граничные условия

Смотреть что такое "Циклические коды" в других словарях:

укороченные циклические коды - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN shortened cyclic codes …

Коды Рида-Соломона - недвоичные циклические коды, позволяющие исправлять ошибки в блоках данных. Элементами кодового вектора являются не биты, а группы битов (блоки). Очень распространены коды Рида Соломона, работающие с байтами (октетами). Код Рида Соломона является … Википедия

коды Голея - Семейство совершенных линейных блоковых кодов с исправлением ошибок. Наиболее полезным является двоичный код Голея. Известен также троичный код Голея. Коды Голея можно рассматривать как циклические коды. … … Справочник технического переводчика

Коды, исправляющие ошибки

Коды исправляющие ошибки - Обнаружение ошибок в технике связи действие, направленное на контроль целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи. Исправление ошибок (коррекция ошибок) процедура восстановления информации после… … Википедия

Исправляющие ошибки Коды - Обнаружение ошибок в технике связи действие, направленное на контроль целостности данных при записи/воспроизведении информации или при её передаче по линиям связи. Исправление ошибок (коррекция ошибок) процедура восстановления информации после… … Википедия

Основные свойства и само название циклических кодов связаны с тем, что все разрешенные комбинации двоичных символов в передаваемом сообщении могут быть получены путем операции циклического сдвига некоторого исходного слова: Обычно кодовые комбинации циклического кода рассматривают не в виде последовательности нолей и единиц, а в виде полинома некоторой степени . Любое число в любой позиционной системе счисления можно представить в общем виде как: где х - основание системы счисления; а - цифры данной системы счисления; п-1, п-2,... - показатель степени, в которую возводится основание, и одновременно порядковые номера, которые занимают разряды. Для двоичной системы х=2, а а либо «О», либо «1». Например, двоичную комбинацию 01001 можно записать в виде полинома от аргумента х: При записи кодовой комбинации в виде многочлена единица в 1-м разряде записывается членом х", а ноль вообще не записывается. Представление кодовых комбинаций в виде многочленов позволяет установить однозначное соответствие между ними и свести действия над комбинациями к действию над многочленами. Так, сложение двоичных многочленов сводится к сложению по модулю 2 коэффициентов при равных степенях переменной. Например, Умножение производится по обычному правилу умножения степенных функций, однако полученные коэффициенты при данной степени складываются по модулю 2. Например, Деление также осуществляется как обычное деление многочленов; при этом операция вычитания заменяется операцией сложения по модулю 2: Как было отмечено выше, коды названы циклическими потому, что циклический сдвиг а п ^ а л Л,..., а 2 ,а 1 ,а д1 а п1 разрешенной комбинации а п (, а п _ 2 ,...,а 1 ,а 0 также является разрешенной комбинацией. Такая циклическая перестановка при использовании представлений в виде полиномов образуется в результате умножения данного полинома на х. Если У(х)=а пЛ х п1 + а п2 х п " 2 +... + а { х+а 0 , то У(х)х = а п] х п + а п 2 х п " 1 +... + а х х 2 + а^х. Чтобы степень многочлена не превышала п-1, член х" заменяется единицей, поэтому: Например, имеем кодовую комбинацию 1101110->х в +х 5 +х 3 +.х г -1-х. Сдвинем ее на один разряд. Получим: Что то же самое, что и умножения исходного полинома на х: Теория построения циклических кодов базируется на разделах высшей алгебры, изучающей свойства двоичных многочленов. Особую роль в этой теории играют так называемые неприводимые многочлены, т. е. полиномы, которые не могут быть представлены в виде произведения многочленов низших степеней. Такой много- член делится только на самого себя и на единицу. Из высшей алгебры известно, что на неприводимый многочлен делится без остатка двучлен х"+1. В теории кодирования неприводимое многочлены называются образующими полиномами, поскольку они «образуют» разрешенные кодовые комбинации (неприводимые полиномы табулированы, см. табл. 8.4) (9]. Идея построения циклического кода сводится к тому, что полином, представляющий информационную часть кодовой комбинации, нужно преобразовать в полином степени не более п-1, который без остатка делится на образующий полином Р(х). Существенно при этом, что степень последнего соответствует числу разрядов проверочной части кодовой комбинации. В циклических кодах все разрешенные комбинации, представленные в виде полиномов, обладают одним признаком: делимостью без остатка на образующий полином Р(х). Построение разрешенной кодовой комбинации сводится к следующему: 1. Представляем информационную часть кодовой комбинации длиной к в виде полинома О(х). 2. Умножаем О(х) на одночлен У и получаем 0(х)х г, т. е. производим сдвиг ¿-разрядной кодовой комбинации на г разрядов. 3. Делим многочлен О (х)х" на образующий полином Р(х), степень которого равна г. В результате умножения О(х) на х г степень каждого одночлена, входящего в О(х), повышается на г. При делении произведения х г О[х) на образующий полином степени г получается частное С(х) такой же степени, что и 0{х). Результаты этих операций можно представить в виде: (8.28) где Щх) -остаток от деления 0(х)х г на Р(х). Поскольку С(х) имеет такую же степень, что и 0{х), то С(х) представляет собой кодовую комбинацию того же ¿-разрядного кода. Степень остатка не может быть, очевидно, больше степени образующего полинома, т. е. его наивысшая степень равна г-1. Следовательно, наибольшее число разрядов остатка не превышает г. Умножив обе части (8.28) на Р(х), ползшим: (8.29) (знак вычитания заменяется знаком сложения по модулю 2). Очевидно, что F(x) делится на Р(х) без остатка. Полином F(x) представляет собой разрешенную кодовую комбинацию циклического кода. Из (8.29) следует, что разрешенную кодовую комбинации циклического кода можно получить двумя способами: умножением кодовой комбинации простого кода С(х) на образующий полином Р(х) или умножением кодовой комбинации 0{х) простого кода на одночлен х г к добавлением к этому произведению остатка Р(х), полученного в результате деления произведения на образующий полином Р(х). При первом способе кодирования информационные и проверочные разряды не отделены друг от друга (код получается неразделимым). Это затрудняет практическую реализацию процесса декодирования. При втором способе получается разделимый код: информационные разряды занимают старшие позиции, остальные п-к разряды являются проверочными. Этот способ кодирования широко применяется на практике. Пример 3. Дана кодовая комбинация 0111. Построим циклический код с d o = 3. Решение. На первом этапе исходя из требуемого d o = 3 определим длину кода л и количество проверочных элементов к. Для этого воспользуемся таблицей 8.6.1. Для заданной четырехразрядной кодовой комбинации N-16. Тогда для d = 3 из соотношения 16(табл. 8.3) находим п - 7, соответственно, к = п - т - = 7 - 4 = 3. Следовательно, необходим код (7,4). По таблице образующих полиномов (табл. 8.4) при к = 3 определяем Р(х) = х 3 + х 2 + 1. Далее: 1) для сообщения 0111 имеем О(х) = х 2 + х + 1; 2) умножаем 0(х) на х 3 (так как г = 3): О(х) х 3 = (х 2 -I- х + 1) х 3 = х 5 + х 4 + х 3 ; 3) делим (Э(х)х 3 на Р(х): 4) получаем: ^(х) = О (х) х 3 0 Я (х) = х 5 + х 4 + х 3 + 1. Этот полином соответствует кодовой комбинации: Все указанные операции можно производить и над двоичными числами: Таблица 8.4
4) F(0,1) = O(0,l)x 3 (0,l)©R(0 1 l) = 011100000001= 0111 001. Построим теперь разрешенную кодовую комбинацию первым способом: F(x)=C(x)P(x). Произведем умножение, представляя полиномы двоичными числами: Видно, что в полученной кодовой комбинации нельзя выделить информационные и проверочные разряды. Обнаружение ошибок при циклическом кодировании сводится к делению принятой кодовой комбинации на тот же образующий полином, который использовался при кодировании (его вид должен быть известен на приеме). Если ошибок в принятой кодовой комбинации нет (или они такие, что данную передаваемую кодовую комбинацию превращают в другую разрешенную), то деление на образующий полином будет выполнено без остатка. Если при делении получится остаток, то это и свидетельствует о наличии ошибки. Пример 4. В качестве разрешенной кодовой комбинации возьмем кодовую комбинацию, полученную в предыдущем примере: Р(х)=х 5 +х 4 + х 3 + 1, а Р(х) = х 3 + х 2 +1, или в двоичном виде Е(0,1) = 0111001; Р(0,1) = 1101. Допустим, что в информационной части произошла ошибка в старшем (7-м) разряде (разряды счита- ем справа налево). Принятая кодовая комбинация имеет вид 1111001. Произведем операцию обнаружения ошибки: Наличие остатка 110 свидетельствует об ошибке. Циклические коды находят большое применение в системах передачи информации. Например, в широко распространенном модемном протоколе \7.42 для кодирования кодовых групп используется образующий полином д(Х)= X 16 + X" -2 + X 5 + 1, что эквивалентно коду 1 0001 0000 0010 0001, а также образующий полином более высокого порядка д(Х) = X 32 + X 26 + X 23 + X 22 + X 16 + X 12 + X 11 + X 10 + X 8 + X 1 + X 5 + X 4 + X 2 + 1. 8.6.

К числу эффективных кодов, обнаруживающих одиночные, кратные ошибки и пачки ошибок, относятся циклические коды (CRC - Cyclic Redundance Code). Они высоконадежны и могут применяться при блочной синхронизации, при которой выделение, например, бита нечетности было бы затруднительно.

Один из вариантов циклического кодирования заключается в умножении исходного кода на образующий полином g(x), а декодирование - в делении на g(x). Если остаток от деления не равен нулю, то произошла ошибка. Сигнал об ошибке поступает на передатчик, что вызывает повторную передачу.

Образующий полином есть двоичное представление одного из простых множителей, на которые раскладывается число X n -1, где X n обозначает единицу в n-м разряде, n равно числу разрядов кодовой группы. Так, если n = 10 и Х = 2, то X n -1 = 1023 = 11*93, и если g(X)=11 или в двоичном коде 1011, то примеры циклических кодов A i *g(Х) чисел A i в кодовой группе при этом образующем полиноме можно видеть в следующей табл. 3.1.

Основной вариант циклического кода, широко применяемый на практике, отличается от предыдущего тем, что операция деления на образующий полином заменяется следующим алгоритмом: 1) к исходному кодируемому числу А справа приписывается К нулей, где К - число битов в образующем полиноме, уменьшенное на единицу; 2) над полученным числом А*(2 К) выполняется операция О, отличающаяся от деления тем, что на каждом шаге операции вместо вычитания выполняется поразрядная операция "исключающее ИЛИ": 3) полученный остаток В и есть CRC - избыточный К-разрядный код, который заменяет в закодированном числе С приписанные справа К нулей, т.е.

С= А*(2 К)+В.

На приемном конце над кодом С выполняется операция О. Если остаток не равен нулю, то при передаче произошла ошибка и нужна повторная передача кода А.

П р и м е р. Пусть А = 1001 1101, образующий полином 11001.

Так как К = 4, то А*(2 K)=100111010000. Выполнение операции О расчета циклического кода показано на рис. 3.2.

Таблица 3.1

Число	Циклический код	Число	Циклический код
0	0000000000.	13	0010001111
1	0000001011	14	0010011010
2	0000010110	15	0010100101
3	0000100001	16	0011000110
5	0000110111	18	0011000110
6	0001000010	19	0011010001
.....	........	.......	.......

Положительными свойствами циклических кодов являются малая вероятность необнаружения ошибки и сравнительно небольшое число избыточных разрядов.

Рис. 3.2. Пример получения циклического кода