С помощта на това онлайн калкулаторМожете да конвертирате цели и дробни числа от една бройна система в друга. Дадено е подробно решение с обяснения. За да преведете, въведете оригиналното число, задайте основата на бройната система на оригиналното число, задайте основата на бройната система, към която искате да преобразувате числото и щракнете върху бутона "Превод". Вижте теоретичната част и числените примери по-долу.
Резултатът вече е получен!
Превод на цели и дробни числа от една бройна система във всяка друга - теория, примери и решения
Има позиционни и непозиционни бройни системи. Арабската бройна система, която използваме в ежедневието, е позиционна, докато римската не е позиционна. В позиционните бройни системи позицията на числото еднозначно определя големината на числото. Помислете за това, като използвате примера на числото 6372 в десетичната бройна система. Нека номерираме това число отдясно наляво, започвайки от нула:
Тогава числото 6372 може да бъде представено по следния начин:
6372=6000+300+70+2 =6 10 3 +3 10 2 +7 10 1 +2 10 0 .
Числото 10 определя бройната система (в случая това е 10). Стойностите на позицията на даденото число се приемат като градуси.
Помислете за реалното десетично число 1287,923. Номерираме го, започвайки от нулевата позиция на числото от десетичната запетая отляво и отдясно:
Тогава числото 1287.923 може да бъде представено като:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1 10 3 +2 10 2 +8 10 1 +7 10 0 +9 10 -1 +2 10 -2 +3 10 -3 .
Най-общо формулата може да бъде представена по следния начин:
C n с n + C n-1 с n-1 +...+C 1 с 1 + C 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
където C n е цяло число на позиция н, D -k - дробно число в позиция (-k), с- бройна система.
Няколко думи за бройните системи Числото в десетичната бройна система се състои от набор от цифри (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), в осмичната бройна система се състои от набор от цифри (0,1, 2,3,4,5,6,7), в двоичната система - от набора от цифри (0.1), в шестнадесетичната бройна система - от набора от цифри (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), където A,B,C,D,E,F съответстват на числата 10,11, 12,13,14,15 В таблица 1 са представени числа в различни системиразчитане.
| маса 1 | |||
|---|---|---|---|
| Нотация | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | А |
| 11 | 1011 | 13 | б |
| 12 | 1100 | 14 | ° С |
| 13 | 1101 | 15 | д |
| 14 | 1110 | 16 | д | 15 | 1111 | 17 | Е |
Преобразуване на числа от една бройна система в друга
За да преведете числа от една бройна система в друга, най-лесният начин е първо да преобразувате числото в десетичната бройна система и след това от десетичната бройна система да го преведете в необходимата бройна система.
Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система
Използвайки формула (1), можете да преобразувате числа от произволна бройна система в десетична бройна система.
Пример 1. Преобразувайте числото 1011101.001 от двоична бройна система (SS) в десетична SS. Решение:
1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Пример2. Преобразувайте числото 1011101.001 от осмична бройна система (SS) в десетична SS. Решение:
Пример 3 . Преобразувайте числото AB572.CDF от шестнадесетичен в десетичен SS. Решение:
Тук А-заменен с 10, б- на 11, ° С- до 12, Е- до 15.
Преобразуване на числа от десетична бройна система в друга бройна система
За да преведете числата от десетичната бройна система в друга бройна система, трябва да преведете цялата част от числото отделно и дробна частчисла.
Цялата част на числото се превежда от десетичната SS в друга бройна система - чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на бройната система (за двоична SS - на 2, за 8-цифрена SS - на 8, за 16-цифрен - с 16 и т.н. ), за да се получи цял остатък, по-малък от основата на SS.
Пример 4 . Нека преведем числото 159 от десетичен SS в двоичен SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Както се вижда от фиг. 1, числото 159, когато е разделено на 2, дава частното 79 и остатъкът е 1. Освен това, числото 79, когато е разделено на 2, дава частното 39 и остатъкът е 1 и т.н. В резултат на това, като конструираме число от остатъка от разделението (отдясно наляво), получаваме число в двоичен SS: 10011111 . Следователно можем да напишем:
159 10 =10011111 2 .
Пример 5 . Нека преобразуваме числото 615 от десетичен SS в осмичен SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Когато преобразувате число от десетичен SS в осмичен SS, трябва последователно да разделите числото на 8, докато получите цяло число, по-малко от 8. В резултат на това, изграждайки число от остатъка от делението (отдясно наляво), ние вземете число в осмичен SS: 1147 (виж фиг. 2). Следователно можем да напишем:
615 10 =1147 8 .
Пример 6 . Нека преведем числото 19673 от десетичната бройна система в шестнадесетичната SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Както се вижда от фигура 3, чрез последователно разделяне на числото 19673 на 16, получаваме остатъците 4, 12, 13, 9. В шестнадесетичната бройна система числото 12 съответства на C, числото 13 - D. Следователно, нашето шестнадесетично число е 4CD9.
За да конвертирате правилните десетични знаци ( реално числос нулева цяло число) в бройна система с основа s, е необходимо това число да се умножи последователно по s, докато дробната част бъде нетна нула, или няма да получим необходимия брой цифри. Ако при умножението се получи число с цяла част, различна от нула, тогава тази цяла част не се взема предвид (те се включват последователно в резултата).
Нека разгледаме горното с примери.
Пример 7 . Нека преведем числото 0,214 от десетичната бройна система в двоична SS.
| 0.214 | ||
| х | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Както се вижда от фиг.4, числото 0,214 се умножава последователно по 2. Ако резултатът от умножението е число с цяла част, различна от нула, тогава цялата част се записва отделно (вляво от числото), а числото се записва с нулева цяла част. Ако при умножаване се получи число с нулева цяла част, тогава вляво от него се записва нула. Процесът на умножение продължава, докато се получи чиста нула в дробната част или се получи необходимия брой цифри. Пишейки удебелени числа (фиг. 4) отгоре надолу, получаваме необходимото число в двоичната система: 0. 0011011 .
Следователно можем да напишем:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Пример 8 . Нека преведем числото 0,125 от десетичната бройна система в двоичната SS.
| 0.125 | ||
| х | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.0 |
За да се преобразува числото 0,125 от десетична SS в двоична, това число се умножава последователно по 2. На третия етап се получава 0. Следователно се получава следният резултат:
0.125 10 =0.001 2 .
Пример 9 . Нека преведем числото 0,214 от десетичната бройна система в шестнадесетичната SS.
| 0.214 | ||
| х | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| х | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| х | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| х | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| х | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| х | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Следвайки примери 4 и 5, получаваме числата 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадесетичния SS числата C и B съответстват на числата 12 и 11. Следователно имаме:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Пример 10 . Нека преведем числото 0,512 от десетичната бройна система в осмичната SS.
| 0.512 | ||
| х | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| х | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| х | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Има:
0.512 10 =0.406111 8 .
Пример 11 . Нека преведем числото 159.125 от десетичната бройна система в двоична SS. За да направим това, превеждаме отделно цялата част на числото (Пример 4) и дробната част на числото (Пример 8). Комбинирайки тези резултати, получаваме:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Пример 12 . Нека преведем числото 19673.214 от десетичната бройна система в шестнадесетичната SS. За целта превеждаме поотделно цялата част на числото (Пример 6) и дробната част на числото (Пример 9). По-нататъшно комбиниране на тези резултати получаваме.
Калкулаторът ви позволява да конвертирате цели и дробни числа от една бройна система в друга. Основата на бройната система не може да бъде по-малко от 2 и повече от 36 (все пак 10 цифри и 26 латински букви). Числата не трябва да надвишават 30 знака. За да въведете дробни числа, използвайте символа. или, . За да конвертирате число от една система в друга, въведете оригиналното число в първото поле, основата на оригиналната бройна система във второто и основата на бройната система, към която искате да конвертирате числото, в третото поле, след това щракнете върху бутона "Вземете вход".
оригинален номер записани в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -та бройна система.
Искам да получа запис на число 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -та бройна система.
Вземете запис
Завършени преводи: 3446071
Може също да представлява интерес:
- Калкулатор на таблицата на истината. SDNF. SKNF. Полином на Жегалкин
Бройни системи
Бройните системи са разделени на два вида: позиционени не позиционно. Използваме арабската система, тя е позиционна, а има и римска - просто не е позиционна. В позиционните системи позицията на цифра в число еднозначно определя стойността на това число. Това е лесно да се разбере, като погледнете примера на някакво число.
Пример 1. Нека вземем числото 5921 в десетичната бройна система. Номерираме числото отдясно наляво, започвайки от нула:
Числото 5921 може да се запише в следния вид: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Числото 10 е характеристика, която определя бройната система. Стойностите на позицията на даденото число се приемат като градуси.
Пример 2. Помислете за реалното десетично число 1234,567. Номерираме го, започвайки от нулевата позиция на числото от десетичната запетая отляво и отдясно:
Числото 1234.567 може да се запише по следния начин: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 10 -2 +7 10 -3 .
Преобразуване на числа от една бройна система в друга
Повечето по прост начинпрехвърлянето на число от една бройна система в друга е преводът на числото първо в десетичната бройна система, а след това полученият резултат в необходимата бройна система.
Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система
За да преобразувате число от която и да е бройна система в десетична, е достатъчно да номерирате цифрите му, като започнете от нула (цифрата вляво от десетичната запетая) подобно на примери 1 или 2. Нека намерим сумата от произведенията на цифрите на числото по основата на бройната система на степен на позицията на тази цифра:
1.
Преобразувайте числото 1001101.1101 2 в десетична бройна система.
Решение: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Отговор: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Преобразувайте числото E8F.2D 16 в десетична бройна система.
Решение: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Отговор: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Преобразуване на числа от десетична бройна система в друга бройна система
За да преобразувате числа от десетична бройна система в друга бройна система, целите и дробните части на числото трябва да бъдат преведени отделно.
Преобразуване на цялата част на число от десетична бройна система в друга бройна система
Цялата част се превежда от десетичната бройна система в друга бройна система чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на бройната система, докато се получи цял остатък, по-малък от основата на бройната система. Резултатът от прехвърлянето ще бъде запис от останките, като се започне от последния.
3.
Преобразувайте числото 273 10 в осмична бройна система.
Решение: 273/8 = 34 и остатък 1, 34/8 = 4 и остатък 2, 4 е по-малко от 8, така че изчислението е завършено. Записът от останките ще изглежда така: 421
Преглед: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , резултатът е същият. Така че преводът е правилен.
Отговор: 273 10 = 421 8
Нека разгледаме превода на правилните десетични дроби в различни бройни системи.
Преобразуване на дробната част на число от десетична бройна система в друга бройна система
Припомнете си, че правилната десетична дроб е реално число с нулева цяла част. За да преведете такова число в числова система с основа N, трябва последователно да умножите числото по N, докато дробната част се нулира или се получи необходимия брой цифри. Ако по време на умножението се получи число с цяла част, различна от нула, тогава цялата част не се взема предвид допълнително, тъй като тя се въвежда последователно в резултата.
4.
Преобразувайте числото 0,125 10 в двоична бройна система.
Решение: 0,125 2 = 0,25 (0 е цялата част, която ще бъде първата цифра на резултата), 0,25 2 = 0,5 (0 е втората цифра на резултата), 0,5 2 = 1,0 (1 е третата цифра на резултата) , и тъй като дробната част е нула, преводът е завършен).
Отговор: 0.125 10 = 0.001 2
Можете да въвеждате или цели числа, като 34, или дробни числа, като 637.333. За дробни числа се посочва точността на превода след десетичната запетая.
Следните също се използват с този калкулатор:
Начини за представяне на числа
Двоичен (двоични) числа - всяка цифра означава стойността на един бит (0 или 1), най-значимият бит винаги се записва отляво, буквата "b" се поставя след числото. За по-лесно възприемане тетрадките могат да бъдат разделени с интервали. Например 1010 0101b.Шестнадесетичен (шестнадесетични) числа - всяка тетрада е представена от един знак 0...9, A, B, ..., F. Такова представяне може да бъде обозначено по различни начини, тук само символът "h" се използва след последния шестнадесетична цифра. Например A5h. В програмните текстове едно и също число може да бъде означено както като 0xA5, така и като 0A5h, в зависимост от синтаксиса на езика за програмиране. Добавя се незначеща нула (0) отляво на най-значимата шестнадесетична цифра, представена с буква, за да се прави разлика между числа и символни имена.
Десетични знаци (десетични) числа - всеки байт (дума, двойна дума) се представя с обикновено число, като знакът на десетичното представяне (буквата "d") обикновено се пропуска. Байтът от предишните примери има десетична стойност 165. За разлика от двоичната и шестнадесетичната нотация, десетичната е трудна за мислено определяне на стойността на всеки бит, което понякога трябва да се направи.
осмичен (осмични) числа - всяка тройка от битове (разделянето започва от най-младшия) се записва като число 0-7, накрая се поставя знак "о". Същото число ще бъде записано като 245o. Осмичната система е неудобна с това, че байтовете не могат да бъдат разделени по равно.
Алгоритъм за преобразуване на числа от една бройна система в друга
Цял превод десетични числакъм всяка друга бройна система се извършва чрез разделяне на числото на основата нова системаномериране, докато остатъкът остане число, по-малко от основата на новата бройна система. Новото число се записва като остатък от делението, като се започне от последното.Преобразуването на правилната десетична дроб в друга PSS се извършва чрез умножаване само на дробната част на числото по основата на новата бройна система, докато всички нули останат в дробната част или докато се достигне определената точност на транслация. В резултат на всяка операция на умножение се образува една цифра от новото число, започвайки от най-високата.
Преводът на неправилна дроб се извършва съгласно 1-во и 2-ро правило. Цялата и дробната част се пишат заедно, разделени със запетая.
Пример #1. 
Превод от 2 до 8 към 16 бройна система.
Тези системи са кратни на две, следователно преводът се извършва с помощта на таблицата за съответствие (вижте по-долу).
За да преобразувате число от двоична бройна система в осмично (шестнадесетично) число, е необходимо да разделите двоичното число на групи от три (четири за шестнадесетични) цифри от запетая отдясно и отляво, допълвайки крайните групи с нули ако е необходимо. Всяка група се заменя със съответната осмична или шестнадесетична цифра.
Пример #2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
тук 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Когато преобразувате в шестнадесетичен, трябва да разделите числото на части, всяка по четири цифри, като следвате същите правила.
Пример #3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
тук 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
Преобразуването на числата от 2, 8 и 16 в десетичната система се извършва, като числото се раздели на отделни и се умножи по основата на системата (от която се превежда числото), повдигната на съответстващата му степен сериен номерв преведеното число. В този случай числата се номерират отляво на десетичната запетая (първото число е с числото 0) с нарастване, а отдясно с намаляване (т.е. с отрицателен знак). Получените резултати се сумират.
Пример #4.
Пример за преобразуване от двоична в десетична бройна система.
1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Пример за преобразуване от осмична в десетична бройна система. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Пример за преобразуване от шестнадесетична в десетична бройна система. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Още веднъж повтаряме алгоритъма за превод на числа от една бройна система в друга PSS
- От десетичната бройна система:
- разделяне на числото на основата на числовата система, която се превежда;
- намиране на остатъка след делене на цялата част от числото;
- запишете всички остатъци от делението в обратен ред;
- От двоичната система
- За да преобразувате в десетичната бройна система, трябва да намерите сумата от продуктите на основа 2 по съответната степен на разреждане;
- За да преобразувате число в осмично, трябва да разделите числото на триади.
Например 1000110 = 1000 110 = 106 8 - За да преобразувате число от двоично в шестнадесетично, трябва да разделите числото на групи от 4 цифри.
Например 1000110 = 100 0110 = 46 16
Таблица на съответствието на бройните системи:
| Двоичен SS | Шестнадесетичен SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | А |
| 1011 | б |
| 1100 | ° С |
| 1101 | д |
| 1110 | д |
| 1111 | Е |
Таблица за конвертиране осмична системаразчитане
Пример #2. Преобразувайте числото 100,12 от десетична в осмична и обратно. Обяснете причините за несъответствията.
Решение.
Етап 1. .
Остатъкът от делението се записва в обратен ред. Получаваме числото в 8-ма бройна система: 144
100 = 144 8
За да преведем дробната част на число, ние последователно умножаваме дробната част по основа 8. В резултат на това всеки път записваме цялата част от продукта.
0,12*8 = 0,96 (цяла част 0
)
0,96*8 = 7,68 (цяла част 7
)
0,68*8 = 5,44 (цяла част 5
)
0,44*8 = 3,52 (цяла част 3
)
Получаваме числото в 8-ма бройна система: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
Етап 2. Преобразуване на число от десетична в осмична.
Обратно преобразуване от осмична в десетична.
За да се преведе цялата част, е необходимо да се умножи цифрата на числото по съответната степен на цифрата.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
За да преведете дробната част, е необходимо да разделите цифрата на числото на съответната степен на цифрата
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
Разликата от 0,0001 (100,12 - 100,1199) се дължи на грешка при закръгляване при преобразуване в осмично число. Тази грешка може да бъде намалена, ако вземем по-голям брой цифри (например не 4, а 8).