Στην ενότητα για την ερώτηση Ποιες είναι οι δύο μορφές γραφής αριθμών; δίνεται από τον συγγραφέα πρόσφοραη καλύτερη απάντηση είναι Στα συστήματα αριθμών θέσης, το ποσοτικό ισοδύναμο (τιμή) ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του (θέση) στη σημειογραφία του αριθμού.
Η θέση ενός ψηφίου σε έναν αριθμό ονομάζεται ψηφίο.
Το ψηφίο του αριθμού αυξάνεται από τα δεξιά προς τα αριστερά, από τα χαμηλότερα στα υψηλότερα ψηφία.
Η βάση ενός συστήματος αριθμών θέσης είναι ένας ακέραιος, ο οποίος ισούται με τον αριθμό των ψηφίων που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση αριθμών σε αυτό το σύστημα αριθμών.
Η βάση δείχνει πόσες φορές αλλάζει η ποσοτική τιμή ενός ψηφίου όταν μετακινείται στο χαμηλότερο ή στο υψηλότερο ψηφίο.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΑΥΘΑΙΡΕΤΗ ΒΑΣΗ
Είναι δυνατή η χρήση πολλών συστημάτων αριθμών θέσης, η βάση των οποίων είναι ίση ή μεγαλύτερη από 2.
Στα συστήματα αριθμών με βάση q (σύστημα αριθμών q-ary), οι αριθμοί σε διευρυμένη μορφή γράφονται ως το άθροισμα ενός αριθμού βαθμών της βάσης q με συντελεστές, που είναι οι αριθμοί 0, 1, ..., q-1.
ή
Το Aq είναι ένας αριθμός στο σύστημα αριθμών q-ary,
q είναι η βάση του αριθμητικού συστήματος,
Ai - ψηφία που ανήκουν στο αλφάβητο αυτού του συστήματος αριθμών,
n είναι ο αριθμός των ακεραίων ψηφίων του αριθμού,
m είναι ο αριθμός των κλασματικών ψηφίων του αριθμού.
Οι συντελεστές ai είναι τα ψηφία του αριθμού που γράφτηκε στο σύστημα αριθμών q-ary.
Συμπτυγμένη σημειογραφία αριθμού:
Χρησιμοποιούμε τη διπλωμένη μορφή γραφής αριθμών στην καθημερινή ζωή,
ονομάζεται φυσικό ή ψηφιακό.
Για την εγγραφή κλασμάτων, χρησιμοποιούνται ψηφία με αρνητικούς βαθμούς βάσης.
ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Βάση: q = 10.
Αλφάβητο: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Συμπτυγμένη σημειογραφία αριθμού:
Διευρυμένη μορφή γραφής αριθμού:
Συντελεστές ai - ψηφία δεκαδικού αριθμού.
Για παράδειγμα, ο αριθμός 123.4510 σε διευρυμένη μορφή θα γραφόταν ως εξής:
Ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση ενός δεκαδικού αριθμού με το 10 (την τιμή της βάσης) μετακινεί το κόμμα που χωρίζει το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μονοψήφιο προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά. Για παράδειγμα:
123.4510 10 = 1234.510;
123,4510: 10 = 12,34510.

Σημειογραφία

Σημειογραφία - αυτός είναι ένας τρόπος αναπαράστασης αριθμών και των αντίστοιχων κανόνων για τη λειτουργία των αριθμών. Τα διάφορα συστήματα αριθμών που υπήρχαν πριν και χρησιμοποιούνται σήμερα μπορούν να χωριστούν σε μη θέσειςΚαι θέσεως. Σημάδια που χρησιμοποιούνται όταν γράφουμε αριθμούς, λέγονται αριθμοί.

ΣΕ μη θέσεων αριθμητικών συστημάτων η τιμή ενός ψηφίου δεν εξαρτάται από τη θέση του στον αριθμό.

Ένα παράδειγμα ενός συστήματος αριθμών χωρίς θέση είναι το ρωμαϊκό σύστημα (ρωμαϊκοί αριθμοί). Στο ρωμαϊκό σύστημα, τα λατινικά γράμματα χρησιμοποιούνται ως αριθμοί:

Παράδειγμα 1Ο αριθμός CCXXXII αποτελείται από διακόσιες, τρεις δεκάδες και δύο μονάδες και ισούται με διακόσιες τριάντα δύο.

Οι λατινικοί αριθμοί γράφονται από αριστερά προς τα δεξιά με φθίνουσα σειρά. Σε αυτή την περίπτωση, προστίθενται οι αξίες τους. Εάν ένας μικρότερος αριθμός είναι γραμμένος στα αριστερά και ένας μεγάλος αριθμός στα δεξιά, τότε οι τιμές τους αφαιρούνται.

Παράδειγμα 2

VI = 5 + 1 = 6; IV \u003d 5 - 1 \u003d 4.

Παράδειγμα 3

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

ΣΕ συστήματα αριθμών θέσης η τιμή που συμβολίζεται με ένα ψηφίο σε μια καταχώρηση αριθμού εξαρτάται από τη θέση του. Ο αριθμός των ψηφίων που χρησιμοποιούνται ονομάζεται βάση του συστήματος αριθμών θέσης.

Το σύστημα αριθμών που χρησιμοποιείται στα σύγχρονα μαθηματικά είναι δεκαδικό σύστημα θέσης. Η βάση του είναι δέκα, γιατί Τυχόν αριθμοί γράφονται με δέκα ψηφία:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Η φύση της θέσης αυτού του συστήματος είναι εύκολα κατανοητή με το παράδειγμα οποιουδήποτε πολυψήφιου αριθμού. Για παράδειγμα, στον αριθμό 333, τα τρία πρώτα σημαίνουν τριακόσιες, το δεύτερο - τρεις δεκάδες, το τρίτο - τρεις μονάδες.

Για να γράψετε αριθμούς σε σύστημα θέσεων με βάση nΠρέπει να έχουν αλφάβητοαπό nψηφία. Συνήθως για αυτό n < 10 используют nπρώτοι αραβικοί αριθμοί, και n> 10 γράμματα προστίθενται σε δέκα αραβικούς αριθμούς. Ακολουθούν παραδείγματα αλφαβήτων από διάφορα συστήματα:

Εάν απαιτείται να υποδειχθεί η βάση του συστήματος στο οποίο ανήκει ο αριθμός, τότε του εκχωρείται δείκτης σε αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα:

1011012, 36718, 3B8F16.

Στο βασικό αριθμητικό σύστημα q (q-αρικό σύστημα αριθμών) οι μονάδες ψηφίων είναι διαδοχικές δυνάμεις ενός αριθμού q. qμονάδες οποιασδήποτε κατηγορίας αποτελούν τη μονάδα της επόμενης κατηγορίας. Για να γράψετε έναν αριθμό στο q- Απαιτείται σύστημα αριθμών qδιάφοροι χαρακτήρες (αριθμοί) που αντιπροσωπεύουν τους αριθμούς 0, 1, ..., q– 1. Γράψιμο ενός αριθμού q V q-Το αριστικό σύστημα αριθμών έχει τη μορφή 10.

Διευρυμένη μορφή γραφής αριθμού

Αφήνω Aq- αριθμός στο βασικό σύστημα q, αι -ψηφία ενός δεδομένου συστήματος αριθμών που υπάρχουν στη σημειογραφία ενός αριθμού ΕΝΑ, n+ 1 - ο αριθμός των ψηφίων του ακέραιου μέρους του αριθμού, Μ- τον αριθμό των ψηφίων του κλασματικού μέρους του αριθμού:

Διευρυμένη μορφή αριθμού ΕΝΑονομάζεται εγγραφή με τη μορφή:

Για παράδειγμα, για έναν δεκαδικό αριθμό:

Τα ακόλουθα παραδείγματα δείχνουν τη διευρυμένη μορφή δεκαεξαδικών και δυαδικών αριθμών:

Σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών, η βάση του γράφεται ως 10.

Εάν όλοι οι όροι στη διευρυμένη μορφή ενός μη δεκαδικού αριθμού παρουσιάζονται στο δεκαδικό σύστημα και η προκύπτουσα παράσταση υπολογίζεται σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής, τότε θα ληφθεί ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα ίσος με τον δεδομένο. Σύμφωνα με αυτή την αρχή, γίνεται μια μετατροπή από μη δεκαδικό σύστημα σε δεκαδικό. Για παράδειγμα, η μετατροπή στο δεκαδικό σύστημα των αριθμών που γράφτηκαν παραπάνω γίνεται ως εξής:

Αφήνω Aq- αριθμός στο βασικό σύστημα q, αι -ψηφία ενός δεδομένου συστήματος αριθμών που υπάρχουν στη σημειογραφία ενός αριθμού ΕΝΑ, n+ 1 - ο αριθμός των ψηφίων του ακέραιου μέρους του αριθμού, Μ- τον αριθμό των ψηφίων του κλασματικού μέρους του αριθμού:

Διευρυμένη μορφή αριθμού ΕΝΑονομάζεται εγγραφή με τη μορφή:

Για παράδειγμα, για έναν δεκαδικό αριθμό:

Τα ακόλουθα παραδείγματα δείχνουν τη διευρυμένη μορφή δεκαεξαδικών και δυαδικών αριθμών:

Σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών, η βάση του γράφεται ως 10.

Εάν όλοι οι όροι στη διευρυμένη μορφή ενός μη δεκαδικού αριθμού παρουσιάζονται στο δεκαδικό σύστημα και η προκύπτουσα παράσταση υπολογίζεται σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής, τότε θα ληφθεί ένας αριθμός στο δεκαδικό σύστημα ίσος με τον δεδομένο. Σύμφωνα με αυτή την αρχή, γίνεται μια μετατροπή από μη δεκαδικό σύστημα σε δεκαδικό. Για παράδειγμα, η μετατροπή στο δεκαδικό σύστημα των αριθμών που γράφτηκαν παραπάνω γίνεται ως εξής:

Μετάφραση δεκαδικοί αριθμοίσε άλλα συστήματα αριθμών

Μετάφραση ακέραιου αριθμού

ακέραιος δεκαδικός αριθμός Χπρέπει να μεταφερθεί σε σύστημα με βάση q: Χ = (ένα n ένα n-1... ένα 1 ένα 0) q. Πρέπει να βρείτε τα σημαντικά ψηφία του αριθμού: .Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό σε διευρυμένη μορφή και ας εκτελέσουμε τον ίδιο μετασχηματισμό:

Από εδώ είναι ξεκάθαρο ότι έναΤο 0 είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού Χανά αριθμό q. Η έκφραση σε παρένθεση είναι το ακέραιο πηλίκο αυτής της διαίρεσης. Ας το χαρακτηρίσουμε ως Χ 1. Εκτελώντας παρόμοιους μετασχηματισμούς, παίρνουμε:

Ως εκ τούτου, ένα 1 είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης Χ 1 επάνω q. Συνεχίζοντας τη διαίρεση με ένα υπόλοιπο, θα πάρουμε μια ακολουθία ψηφίων του επιθυμητού αριθμού. Αριθμός ένασε αυτή την αλυσίδα των τμημάτων θα είναι το τελευταίο ιδιωτικό, μικρότερο q.

Ας διαμορφώσουμε τον κανόνα που προκύπτει: για να μετατρέψετε έναν ολόκληρο δεκαδικό αριθμό σε ένα σύστημα αριθμών με διαφορετική βάση, χρειάζεστε:

1) εκφράστε τη βάση του νέου συστήματος αριθμών στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και εκτελέστε όλες τις επόμενες ενέργειες σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής.

2) διαιρέστε διαδοχικά τον δεδομένο αριθμό και τα προκύπτοντα επιμέρους πηλίκα με βάση το νέο σύστημα αριθμών μέχρι να πάρουμε ένα ατελές πηλίκο μικρότερο από τον διαιρέτη.

3) τα υπόλοιπα που προκύπτουν, τα οποία είναι τα ψηφία του αριθμού μέσα νέο σύστημαλογισμός, ευθυγραμμίστε τον με το αλφάβητο του νέου συστήματος αριθμών.

4) συνθέστε έναν αριθμό στο νέο σύστημα αριθμών, σημειώνοντας τον ξεκινώντας από τον τελευταίο ιδιωτικό αριθμό.

Παράδειγμα 1Μετατρέψτε τον αριθμό 37 10 σε δυαδικό σύστημα.

Για να δηλώσουμε αριθμούς στη συμβολή ενός αριθμού, χρησιμοποιούμε συμβολισμό: ένα 5 ένα 4 ένα 3 ένα 2 ένα 1 ένα 0

Ως εκ τούτου: 37 10 = l00l0l 2

Παράδειγμα 2Μετατροπή δεκαδικού αριθμού 315 σε οκταδικό και δεκαεξαδικό σύστημα:

Από εδώ προκύπτει: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Θυμηθείτε ότι 11 10 = B 16 .

Δεκαδικός Χ < 1 требуется перевести в систему с основанием q: Χ = (0, ένα –1 ένα –2 … ένα–m+1 ένα–m) q. Πρέπει να βρείτε τα σημαντικά ψηφία του αριθμού: ένα –1 ,ένα –2 , …, ένα–μ. Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό σε διευρυμένη μορφή και ας τον πολλαπλασιάσουμε με q:

Από εδώ είναι ξεκάθαρο ότι ένα-1 είναι όλο το μέρος του έργου Χανά αριθμό q. Σημειώστε με Χ 1κλασματικό μέροςπροϊόντα και πολλαπλασιάστε το επί q:

Ως εκ τούτου, ένα-2 είναι ολόκληρο το μέρος του προϊόντος Χ 1 ανά αριθμό q. Συνεχίζοντας τον πολλαπλασιασμό, θα πάρουμε μια ακολουθία ψηφίων. Τώρα ας διατυπώσουμε τον κανόνα: για να μετατρέψετε ένα δεκαδικό κλάσμα σε σύστημα αριθμών με διαφορετική βάση, χρειάζεστε:

1) πολλαπλασιάστε διαδοχικά τον δεδομένο αριθμό και τα προκύπτοντα κλασματικά μέρη των προϊόντων με τη βάση του νέου συστήματος έως ότου το κλασματικό μέρος του γινομένου γίνει ίσο με μηδέν ή επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια αναπαράστασης του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών.

2) τα προκύπτοντα ακέραια μέρη των προϊόντων, τα οποία είναι τα ψηφία ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, τα φέρνουν σε ευθυγράμμιση με το αλφάβητο του νέου συστήματος αριθμών.

3) Να σχηματίσετε το κλασματικό μέρος του αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, ξεκινώντας από το ακέραιο μέρος του πρώτου γινομένου.

Παράδειγμα 3Μετατρέψτε το δεκαδικό 0,1875 σε δυαδικό, οκταδικό και δεκαεξαδικό.

Εδώ, το ακέραιο μέρος των αριθμών βρίσκεται στην αριστερή στήλη και το κλασματικό μέρος στη δεξιά στήλη.

Ως εκ τούτου: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Μετάφραση μικτών αριθμών, που περιέχει ακέραια και κλασματικά μέρη, πραγματοποιείται σε δύο στάδια. Τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη του αρχικού αριθμού μεταφράζονται χωριστά σύμφωνα με τους αντίστοιχους αλγόριθμους. Στην τελική εγγραφή ενός αριθμού στο νέο σύστημα αριθμών, το ακέραιο μέρος διαχωρίζεται από το κλασματικό κόμμα (κουκκίδα).

Το θέμα «Αριθμητικά συστήματα» σχετίζεται άμεσα με τη μαθηματική θεωρία των αριθμών. Ωστόσο, στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών, κατά κανόνα, δεν μελετάται. Η ανάγκη μελέτης αυτού του θέματος σε ένα μάθημα επιστήμης υπολογιστών σχετίζεται με το γεγονός ότι οι αριθμοί στη μνήμη του υπολογιστή αντιπροσωπεύονται στο δυαδικό σύστημα αριθμών και τα δεκαεξαδικά ή οκταδικά συστήματα χρησιμοποιούνται για την εξωτερική αναπαράσταση των περιεχομένων της μνήμης, των διευθύνσεων μνήμης. Αυτό είναι ένα από τα παραδοσιακά θέματα ενός μαθήματος επιστήμης υπολογιστών ή προγραμματισμού. Έχοντας σχέση με τα μαθηματικά, αυτό το θέμα συμβάλλει επίσης στη θεμελιώδη μαθηματική εκπαίδευση των μαθητών.

Για ένα μάθημα πληροφορικής, το κύριο ενδιαφέρον είναι η εξοικείωση με το δυαδικό σύστημα αριθμών. Η χρήση του δυαδικού συστήματος αριθμών σε έναν υπολογιστή μπορεί να εξεταστεί από δύο απόψεις: 1) δυαδική αρίθμηση, 2) δυαδική αριθμητική, δηλ. εκτέλεση αριθμητικών υπολογισμών σε δυαδικούς αριθμούς.

Δυαδική αρίθμηση

Με τη δυαδική αρίθμηση οι μαθητές συναντιούνται στο θέμα «Αναπαράσταση κειμένου σε μνήμη υπολογιστή". Όταν μιλάμε για τον πίνακα κωδικοποίησης, ο δάσκαλος θα πρέπει να ενημερώσει τους μαθητές ότι η εσωτερική δυάδικος κώδικαςσύμβολο είναι δικό του σειριακός αριθμόςστο δυαδικό σύστημα. Για παράδειγμα, ο αριθμός του γράμματος S στον πίνακα ASCII είναι 83. Ο οκταψήφιος δυαδικός κωδικός για το γράμμα S ισούται με την τιμήαυτός ο αριθμός σε δυαδικό: 01010011.

Δυαδικός Υπολογισμός

Σύμφωνα με την αρχή του John von Neumann, ο υπολογιστής εκτελεί υπολογισμούς στο δυαδικό σύστημα. Στο πλαίσιο του βασικού μαθήματος, αρκεί να περιοριστούμε στην εξέταση υπολογισμών με δυαδικούς ακέραιους αριθμούς. Για να εκτελέσετε υπολογισμούς με πολυψήφιους αριθμούς, πρέπει να γνωρίζετε τους κανόνες για την πρόσθεση και τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό μονοψήφιων αριθμών. Εδώ είναι οι κανόνες:

Η αρχή της μετάθεσης της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού λειτουργεί σε όλα τα συστήματα αριθμών. Οι τεχνικές για την εκτέλεση υπολογισμών με πολυψήφιους αριθμούς στο δυαδικό σύστημα είναι παρόμοιες με τις δεκαδικές. Με άλλα λόγια, οι διαδικασίες για την πρόσθεση, την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό με μια «στήλη» και τη διαίρεση με μια «γωνία» στο δυαδικό σύστημα εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως στο δεκαδικό σύστημα.

Εξετάστε τους κανόνες για την αφαίρεση και τη διαίρεση δυαδικών αριθμών. Η πράξη αφαίρεσης είναι το αντίστροφο της πρόσθεσης. Από τον παραπάνω πίνακα πρόσθεσης ακολουθούν οι κανόνες αφαίρεσης:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα αφαίρεσης πολλών ψηφίων:

Το αποτέλεσμα που προκύπτει μπορεί να ελεγχθεί προσθέτοντας τη διαφορά με το υπόστρωμα. Θα πρέπει να είναι μειούμενος αριθμός.

Η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού.
Σε οποιοδήποτε σύστημα αριθμών, δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το 0. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης με το 1 είναι ίσο με το μέρισμα. Η διαίρεση ενός δυαδικού αριθμού με το 102 μετακινεί την υποδιαστολή μία θέση προς τα αριστερά, ακριβώς όπως η δεκαδική διαίρεση με το δέκα. Για παράδειγμα:

Η διαίρεση με το 100 μετατοπίζει την υποδιαστολή 2 θέσεις προς τα αριστερά και ούτω καθεξής. ΣΕ βασικό μάθημαμπορεί να μην ληφθεί υπόψη σύνθετα παραδείγματαδιαίρεση δυαδικών αριθμών πολλαπλών τιμών. Αν και ικανοί μαθητές μπορούν να τα αντιμετωπίσουν, έχοντας κατανοήσει τις γενικές αρχές.

Η αναπαράσταση των πληροφοριών που είναι αποθηκευμένες στη μνήμη του υπολογιστή στην πραγματική τους δυαδική μορφή είναι πολύ επαχθής λόγω του μεγάλου αριθμού ψηφίων. Αυτό αναφέρεται στην καταγραφή τέτοιων πληροφοριών σε χαρτί ή στην εμφάνισή τους στην οθόνη. Για τους σκοπούς αυτούς, συνηθίζεται να χρησιμοποιούνται μικτά δυαδικά-οκταδικά ή δυαδικά-δεκαεξαδικά συστήματα.

Υπάρχει μια απλή σχέση μεταξύ της δυαδικής και της δεκαεξαδικής αναπαράστασης ενός αριθμού. Κατά τη μετάφραση ενός αριθμού από ένα σύστημα σε άλλο, ένα δεκαεξαδικό ψηφίο αντιστοιχεί σε έναν δυαδικό κώδικα τεσσάρων bit. Αυτή η αντιστοιχία αντικατοπτρίζεται στον δυαδικό-δεκαεξαδικό πίνακα:

Δυαδικός δεκαεξαδικός πίνακας

Μια τέτοια σχέση βασίζεται στο γεγονός ότι 16 = 2 4 και ο αριθμός των διαφορετικών τετραψήφιων συνδυασμών των ψηφίων 0 και 1 είναι 16: από 0000 έως 1111. Επομένως η μετατροπή αριθμών από δεκαεξαδικό σε δυαδικό και αντίστροφα πραγματοποιείται με επίσημη μετατροπή σύμφωνα με τον πίνακα δυαδικών δεκαεξαδικών.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα μετάφρασης ενός δυαδικού κώδικα 32-bit σε ένα δεκαεξαδικό σύστημα:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Εάν δοθεί μια δεκαεξαδική αναπαράσταση της εσωτερικής πληροφορίας, τότε είναι εύκολο να μεταφραστεί σε δυαδικό κώδικα. Το πλεονέκτημα της δεκαεξαδικής αναπαράστασης είναι ότι είναι 4 φορές μικρότερη από τη δυαδική. Είναι επιθυμητό οι μαθητές να απομνημονεύουν τον δυαδικό-δεκαεξαδικό πίνακα. Τότε πράγματι για αυτούς η δεκαεξαδική αναπαράσταση θα γίνει ισοδύναμη με δυαδική.

Στο δυαδικό οκταδικό, κάθε οκταδικό ψηφίο αντιστοιχεί σε μια τριάδα δυαδικών ψηφίων. Αυτό το σύστημα σάς επιτρέπει να μειώσετε τον δυαδικό κώδικα κατά 3 φορές.

| Σχεδιασμός μαθήματος και υλικό μαθήματος | 8 τάξεις | Προγραμματισμός μαθημάτων για το ακαδημαϊκό έτος (σύμφωνα με το εγχειρίδιο του N.D. Ugrinovich) | Διευρυμένες και συμπτυγμένες μορφές γραφής αριθμών. Μετάφραση από αυθαίρετο σε δεκαδικό σύστημα αριθμών

Μάθημα 19
Διευρυμένες και συμπτυγμένες μορφές γραφής αριθμών. Μετάφραση από αυθαίρετο σε δεκαδικό σύστημα αριθμών

§ 4.1. Κωδικοποίηση αριθμητικών πληροφοριών

4.1.2. Αριθμητικές πράξεις σε συστήματα αριθμών θέσης

Οι αριθμητικές πράξεις σε όλα τα συστήματα αριθμών θέσης εκτελούνται σύμφωνα με τους ίδιους γνωστούς κανόνες.

Πρόσθεση.Εξετάστε την πρόσθεση αριθμών στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Βασίζεται στον πίνακα πρόσθεσης μονοψήφιων δυαδικών αριθμών:

0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10.

Είναι σημαντικό να προσέξετε το γεγονός ότι όταν προσθέτετε δύο μονάδες, το bit υπερχειλίζει και γίνεται μεταφορά στο υψηλότερο bit. Μια υπερχείλιση συμβαίνει όταν η τιμή ενός ψηφίου σε αυτό γίνεται ίση ή μεγαλύτερη από τη βάση του συστήματος αριθμών. Για το δυαδικό σύστημα αριθμών, αυτή η τιμή είναι δύο.

Η πρόσθεση πολυψήφιων δυαδικών αριθμών πραγματοποιείται σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα πρόσθεσης, λαμβάνοντας υπόψη πιθανές μεταφορές από τα χαμηλότερα ψηφία στα υψηλότερα. Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τους δυαδικούς αριθμούς 110 2 και 11 2 σε μια στήλη:

Ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών με πρόσθεση στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Ας μετατρέψουμε τους δυαδικούς αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα αριθμών και, στη συνέχεια, ας τους προσθέσουμε:

Τώρα μεταφράζουμε το αποτέλεσμα της δυαδικής πρόσθεσης σε δεκαδικό αριθμό:

Συγκρίνετε τα αποτελέσματα - η προσθήκη είναι σωστή.

Αφαίρεση.Εξετάστε την αφαίρεση των δυαδικών αριθμών. Βασίζεται σε έναν πίνακα αφαίρεσης μονοψήφιων δυαδικών αριθμών.

Όταν αφαιρούμε από έναν μικρότερο αριθμό (0) έναν μεγαλύτερο (1), γίνεται δάνειο από την υψηλότερη σειρά. Στον πίνακα, το δάνειο υποδεικνύεται με 1 με μια γραμμή:

Η αφαίρεση των πολυψήφιων δυαδικών αριθμών γίνεται σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα αφαίρεσης, λαμβάνοντας υπόψη πιθανούς δανεισμούς από ψηφία υψηλής τάξης. Για παράδειγμα, ας αφαιρέσουμε τους δυαδικούς αριθμούς 110 2 και 11 2:

Πολλαπλασιασμός.Ο πολλαπλασιασμός βασίζεται στον πίνακα πολλαπλασιασμού μονοψήφιων δυαδικών αριθμών:

Ο πολλαπλασιασμός των πολυψήφιων δυαδικών αριθμών γίνεται σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα πολλαπλασιασμού με το συνηθισμένο μοτίβοχρησιμοποιείται στο δεκαδικό σύστημα αριθμών, με διαδοχικό πολλαπλασιασμό του πολλαπλασιαστή με το επόμενο ψηφίο του πολλαπλασιαστή. Για παράδειγμα, ας πολλαπλασιάσουμε τους δυαδικούς αριθμούς 110 2 και 11 2:

Διαίρεση.Η λειτουργία διαίρεσης εκτελείται σύμφωνα με έναν αλγόριθμο παρόμοιο με τον αλγόριθμο λειτουργίας διαίρεσης στο σύστημα δεκαδικών αριθμών. Για παράδειγμα, ας διαιρέσουμε τον δυαδικό αριθμό 110 2 με 11 2:

Για αριθμητικές πράξειςπάνω από αριθμούς που εκφράζονται σε διάφορα συστήματαλογισμός, πρέπει πρώτα να τα μεταφράσετε στο ίδιο σύστημα.

Καθήκοντα για αυτοεκπλήρωση

4.6. Ερώτηση με αναλυτική απάντηση.Εκτελέστε πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση δυαδικών αριθμών 1010 2 και 10 2

Η βάση ενός συστήματος αριθμών θέσης είναι ένας ακέραιος q, ο οποίος αυξάνεται σε ισχύ.

Η βάση ενός συστήματος αριθμών θέσης είναι μια ακολουθία αριθμών, καθένας από τους οποίους καθορίζει το ποσοτικό ισοδύναμο (βάρος) ενός συμβόλου, ανάλογα με τη θέση του στον αριθμητικό κωδικό.

Δεκαδική βάση: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – Μ ,…

Βάση ενός αυθαίρετου συστήματος αριθμών θέσης: ... q n, q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – Μ, …

Η βάση σε οποιοδήποτε σύστημα απεικονίζεται ως 10, αλλά έχει διαφορετική ποσοτική τιμή. Δείχνει πόσες φορές αλλάζει η ποσοτική τιμή ενός ψηφίου όταν μετακινείται σε διπλανή θέση. Πολλά συστήματα θέσεων είναι δυνατά, αφού οποιοσδήποτε αριθμός, όχι μικρότερος από 2, μπορεί να ληφθεί ως βάση του συστήματος αριθμών.

Το όνομα του συστήματος αριθμών αντιστοιχεί στη βάση του (δεκαδικό, δυαδικό, πεπτικό κ.λπ.).

Στο βασικό αριθμητικό σύστημα q (q-αρικό σύστημα αριθμών) οι μονάδες ψηφίων είναι διαδοχικές δυνάμεις ενός αριθμού q,με άλλα λόγια, qμονάδες οποιασδήποτε κατηγορίας αποτελούν τη μονάδα της επόμενης κατηγορίας.

Για να γράψετε αριθμούς q- Απαιτείται σύστημα αριθμών qδιάφοροι χαρακτήρες (αριθμοί) που αντιπροσωπεύουν τους αριθμούς 0, 1, ..., q – 1.

Επομένως, η βάση ενός συστήματος αριθμών θέσης είναι ίση με τον αριθμό των χαρακτήρων (χαρακτήρων) στο αλφάβητό του. Γράφοντας έναν αριθμό q V q-Το αριστικό σύστημα αριθμών έχει τη μορφή 10.

Παράδειγμα 1Οκταδικό σύστημα αριθμών.

Βάση: q = 8.

Αλφάβητο: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7.

Αριθμοί: για παράδειγμα, 45023.152 8 ; 751.001 8 .

Παράδειγμα 2Πενταπλό σύστημα αριθμών .

Βάση: q = 5.

Αλφάβητο: 0, 1, 2, 3 και 4.

Αριθμοί: για παράδειγμα, 20304 5 ; 324,03 5 .

Παράδειγμα 3Δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Βάση: q = 16.

Αλφάβητο: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Εδώ, μόνο δέκα ψηφία από τα δεκαέξι έχουν τον γενικά αποδεκτό προσδιορισμό 0-9. Για να γράψετε τους υπόλοιπους χαρακτήρες του αλφαβήτου (10, 11, 12, 13, 14 και 15), χρησιμοποιούνται συνήθως τα πρώτα πέντε γράμματα του λατινικού αλφαβήτου.

Αριθμοί: για παράδειγμα, B5C3,1A2 16; 355.0FA01 8 .

Σε ένα σύστημα αριθμών θέσης, οποιοδήποτε πραγματικός αριθμόςμπορεί να παρουσιαστεί στην ακόλουθη μορφή:

A q = ±( a n–1× q n –1 + a n–2× q n –2 +…+ ένα 0 × q 0 + ένα–1× q –1 + ένα–2× q –2 +…+ ένα –Μ × q–m), (1) ή ±.

Εδώ ΕΝΑ -ο ίδιος ο αριθμός? q- radix;
ένα i- ψηφία που ανήκουν στο αλφάβητο του δεδομένου συστήματος αριθμών. Π -τον αριθμό των ακεραίων ψηφίων του αριθμού· T -τον αριθμό των κλασματικών ψηφίων του αριθμού.

Η επέκταση ενός αριθμού σύμφωνα με τον τύπο (1) ονομάζεται διευρυμένη σημειογραφία . Διαφορετικά, αυτή η μορφή σημειογραφίας ονομάζεται πολυώνυμοςή εξουσία.

Παράδειγμα 1Δεκαδικός αριθμός ΕΝΑ 10 = 5867,91 σύμφωνα με τον τύπο (1) παρουσιάζεται ως εξής:

ΕΝΑ 10 \u003d 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 -1 + 1 × 10 -2.

Παράδειγμα 2Ο τύπος (1) για το οκταδικό σύστημα αριθμών έχει τη μορφή:

ΕΝΑ 8 = ±( a n–1×8 n –1 + a n-2 × 8 n –2 +…+ ένα 0 × 80+ ένα–1 ×8 –1 + ένα–2 ×8 –2 +…+ είμαι×8 - Μ),

Οπου ένα i- αριθμοί 0–7.

οκταδικός αριθμόςΈνα 8 \u003d 7064.3 στη μορφή (1) θα γραφτεί ως εξής:

ΕΝΑ 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 -1 .

Παράδειγμα 3πενταπλός αριθμός ΕΝΑ 5 \u003d 2430,21 σύμφωνα με τον τύπο (1) θα γραφτεί ως εξής:

ΕΝΑ 5 = 2 x 5 3 + 4 x 5 2 + 3 x 5" + 0 x 5° + 2 x 5 -1 + 1 x 5 -2 .

Αξιολογώντας αυτήν την έκφραση, μπορείτε να λάβετε το δεκαδικό ισοδύναμο του καθορισμένου πεπτικού αριθμού: 365.44 10 .

Παράδειγμα 4Σε δεκαεξαδικό συμβολισμό, καταχώριση 3 AF 16 σημαίνει:

3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10 .