Amikor bizonyos integrálokat a Newton-Leibniz formulával számítunk ki, nem célszerű szigorúan megkülönböztetni a probléma megoldásának szakaszait (az antiderivatív integrandus megtalálása, az antiderivált növekményének megtalálása). Ez a megközelítés, amely különösen a változók változtatásának és részenkénti integrálásának képleteit használja egy bizonyos integrálhoz, általában lehetővé teszi a megoldás megírásának egyszerűsítését.

TÉTEL. Legyen a φ(t) függvénynek folytonos deriváltja az [α,β] szakaszon, a=φ(α), b=φ(β) és az f(x) függvény legyen folytonos az x alak minden x pontjában =φ(t), ahol t[α,β].

Ekkor igaz a következő egyenlőség:

Ezt a képletet a változó formula meghatározott integrálban való változásának nevezzük.

Csakúgy, mint a határozatlan integrál esetében, a változóváltás használata lehetővé teszi az integrál egyszerűsítését, közelebb hozva a táblázathoz (táblázathoz). Ebben az esetben, ellentétben a határozatlan integrállal, ebben az esetben nem kell visszatérni az eredeti integrációs változóhoz. A φ(t)=а és φ(t)=в egyenletek megoldásaként elegendő az α és β integrálási határait az új t változóra vonatkozóan megtalálni a t változóra vonatkozóan. A gyakorlatban egy változó megváltoztatásakor gyakran kezdjük azzal, hogy az új változó t=ψ(x) kifejezését megadjuk a régien keresztül. Ebben az esetben a t változóra vonatkozó integrációs határok megtalálása egyszerűsödik: α=ψ(a), β=ψ(c).

19. példa Számítsa ki

Tegyük fel t=2-x 2 . Ekkor dt=d(2-x 2)=(2-x 2)"dx=-2xdx és xdx=-dt. Ha x=0, akkor t=2-0 2 =2, és ha x=1, akkor t=2-1 2 = 1. Ezért:

20. példa Számítsa ki

Használjuk a változó változását. Aztán és . Ha x=0, akkor t=1 és ha x=5, akkor t=4. Ha helyettesítjük, azt kapjuk

Rátérünk az általános esetre - a változók megváltoztatásának módszerére a határozatlan integrálban.

5. példa

Példaként az integrált vettem, amelyet már az óra elején figyelembe vettünk. Ahogy már mondtuk, az integrál megoldásához a táblázatos képlet tetszett nekünk, és az egészet erre szeretném redukálni.

A helyettesítési módszer mögött meghúzódó gondolat az egy összetett kifejezést (vagy valamilyen függvényt) egy betűre cserélni.
Ebben az esetben azt kérdezi:
A második legnépszerűbb helyettesítő betű a levél.
Elvileg lehet más betűket is használni, de mi továbbra is ragaszkodunk a hagyományokhoz.

Így:
De a cserekor elmentünk! Valószínűleg sokan sejtették, hogy ha áttérünk egy új változóra, akkor az új integrálban mindent betűn keresztül kell kifejezni, és egyáltalán nincs helye a differenciálnak.
Ebből logikus következtetés következik, hogy szükséges olyan kifejezéssé alakul, amely csak attól függ.

A művelet a következő. Miután kiválasztottuk a helyettesítőt, ezt a példát, , meg kell találnunk a differenciálművet. A különbségekkel azt hiszem, már mindenki számára kialakult a barátság.

Azóta

A differenciálművel végzett leszámolás után azt javaslom, hogy a lehető legrövidebbre írja át a végeredményt:
Most az arányossági szabályok szerint kifejezzük azt, amelyikre szükségünk van:

Végül is:
Ilyen módon:

És ez már a legtáblásabb integrál ( integrálok táblázata természetesen a ) változóra is érvényes.

Összefoglalva, hátra van a fordított csere végrehajtása. Emlékszünk erre.

Kész.

A példa végső kialakításának valahogy így kell kinéznie:

“

Cseréljük:

“

Az ikonnak nincs matematikai jelentése, ez azt jelenti, hogy megszakítottuk a megoldást köztes magyarázatokra.

Ha példát készít egy jegyzetfüzetben, jobb, ha a fordított helyettesítést egyszerű ceruzával írja felül.

Figyelem! A következő példákban a különbség megtalálását nem írjuk le részletesen.

És most itt az ideje, hogy emlékezzünk az első megoldásra:

Mi a különbség? Nincs alapvető különbség. Valójában ugyanaz. De a feladat tervezése szempontjából a függvény differenciáljel alá hozásának módja sokkal rövidebb.

Felmerül a kérdés. Ha az első út rövidebb, akkor miért használjuk a csere módszert? A helyzet az, hogy számos integrál esetében nem olyan egyszerű a függvényt a differenciál jele alá "illeszteni".

6. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Cseréljünk: (itt nehéz más cserét elképzelni)

Amint láthatja, a csere eredményeként az eredeti integrál jelentősen leegyszerűsödött - egy közönséges teljesítményfunkcióvá csökkent. Ez a csere célja - az integrál egyszerűsítése.

A lusta haladók könnyen meg tudják oldani ezt az integrált, ha a függvényt a differenciáljel alá helyezik:

Egy másik dolog, hogy egy ilyen megoldás nem minden hallgató számára nyilvánvaló. Ezen kívül már ebben a példában a függvényt differenciáljel alá hozó módszer alkalmazása jelentősen növeli az összetévesztés kockázatát a döntésben.

7. példa

Keresse meg a határozatlan integrált. Futtasson ellenőrzést.

8. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Csere:
Majd kiderül, mi lesz belőle

Nos, kifejeztük, de mi a teendő a számlálóban maradó „X”-el?!
Az integrálok megoldása során időnként előfordul a következő trükk: ugyanabból a pótlásból fejezzük ki !

9. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Ez egy példa erre független megoldás. Válasz a lecke végén.

10. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Bizonyára néhányan észrevették, hogy a referenciatáblázatomban nincs változó helyettesítési szabály. Szándékosan csinálták. A szabály összekeverné a magyarázatot és a megértést, mivel a fenti példákban nem jelenik meg kifejezetten.

Itt az ideje, hogy beszéljünk a változó helyettesítési módszer használatának alapfeltevéséről: az integrandusnak tartalmaznia kell valamilyen függvényt és származéka : (előfordulhat, hogy a funkciók nincsenek a termékben)

Ebben a tekintetben az integrálok keresésekor gyakran bele kell nézni a derivált táblázatba.

Ebben a példában azt látjuk, hogy a számláló foka eggyel kisebb, mint a nevező mértéke. A deriváltak táblázatában találjuk a képletet, amely éppen eggyel csökkenti a fokozatot. És ezért, ha a nevezőt jelöli ki, akkor nagy az esély arra, hogy a számlálóból valami jó lesz.

Csere:

Egyébként itt nem olyan nehéz a függvényt a differenciáljel alá hozni:

Meg kell jegyezni, hogy az olyan törteknél, mint a , egy ilyen trükk már nem működik (pontosabban, nem csak a helyettesítési technikát kell alkalmazni). A leckében megtanulhatja, hogyan kell egyes törteket integrálni Néhány tört integrálása.

Íme néhány tipikusabb példa egy független megoldásra ugyanabból az operából:

11. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

12. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Megoldások az óra végén.

13. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Megnézzük a derivált táblázatot, és megtaláljuk az arc koszinuszunkat: . Az integrandban van az arccosine és valami hasonló a származékához.

Általános szabály:
Per magát a függvényt jelöli(és nem a származéka).

Ebben az esetben: . Azt kell kideríteni, mivé válik az integrandus többi része.

Ebben a példában részletesen leírom a leletet, mert ez egy összetett függvény.

Vagy rövidebben:
Az arányszabály szerint a szükséges maradékot fejezzük ki:

Ilyen módon:

Itt nem olyan egyszerű a függvényt a differenciál jele alá vinni.

14. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Példa független megoldásra. A válasz nagyon közeli.

A figyelmes olvasók észre fogják venni, hogy kevés példát vettem figyelembe trigonometrikus függvényekkel. És ez nem véletlen, mert trigonometrikus függvények integráljai külön leckét adott. Ezenkívül a megadott lecke hasznos útmutatást ad egy változó megváltoztatásához, ami különösen fontos a bábuk számára, akik nem mindig és azonnal értik, milyen cserét kell végrehajtani egy adott integrálban. Ezenkívül néhány cseretípus megtalálható a cikkben Határozott integrál. Megoldási példák.

A tapasztaltabb hallgatók megismerkedhetnek egy tipikus helyettesítéssel irracionális függvényekkel rendelkező integrálokban. A gyökérintegrációs helyettesítés specifikus, és végrehajtási technikája eltér attól, amelyet ebben a leckében tárgyaltunk.

Sok sikert kívánok!

3. példa:Megoldás :

4. példa:Megoldás :

7. példa:Megoldás :

9. példa:Megoldás :

Csere:

11. példa:Megoldás :

Cseréljük:

12. példa:Megoldás :

Cseréljük:

14. példa:Megoldás :

Cseréljük:

Integráció alkatrészek szerint. Megoldási példák

Szia ismét. Ma a leckében megtanuljuk, hogyan kell integrálni az alkatrészeket. Az integrálszámítás egyik sarokköve a részek szerinti integrálás módszere. A teszten, vizsgán szinte mindig felajánlják a hallgatónak a következő típusú integrálok megoldását: a legegyszerűbb integrál (lásd a cikketHatározatlan integrál. Megoldási példák ) vagy egy integrál a változó megváltoztatására (lásd a cikketVáltozómódosítási módszer határozatlan integrálban ) vagy az integrál éppen részenkénti integráció módja.

Mint mindig, kéznél kell lennie: Integrálok táblázataés Származékos táblázat. Ha még mindig nincsenek meg, akkor látogassa meg oldalam raktárát: Matematikai képletek és táblázatok. Nem fogok belefáradni az ismétlésbe - jobb mindent kinyomtatni. Igyekszem minden anyagot következetesen, egyszerűen és közérthetően bemutatni, a részenkénti integráció nem okoz különösebb nehézséget.

Milyen problémát old meg az alkatrészekkel történő integráció? Az alkatrészenkénti integráció módszere egy nagyon fontos problémát old meg, lehetővé teszi néhány olyan függvény integrálását, amelyek nem szerepelnek a táblázatban, munka funkciókat, és bizonyos esetekben - és privát. Mint emlékszünk, nincs kényelmes képlet: . De van ilyen: az alkatrészek személyes integrációjának képlete. Tudom, tudom, te vagy az egyetlen - vele együtt fogjuk dolgozni az egész leckét (ez már könnyebb).

4) , inverzek trigonometrikus függvények("ívek"), "ívek" szorozva valamilyen polinommal.

Ezenkívül néhány tört részenként történik, a megfelelő példákat is részletesen megvizsgáljuk.

A logaritmusok integráljai

1. példa

Keresse meg a határozatlan integrált.

Klasszikus. Időnként ez az integrál megtalálható a táblázatokban, de nem kívánatos kész választ használni, mivel a tanárnak tavasszal beriberije van, és sokat szidni fog. Mivel a szóban forgó integrál semmiképpen sem táblázatos – részekre bontva. Mi döntünk:

A megoldást köztes magyarázatokra megszakítjuk.

Az alkatrészek szerinti integráció képletét használjuk:

Adott integrál kiszámítása közvetlen integrálással

nem mindig sikerül. Az egyik leghatékonyabb módszer

az integrációs változó helyettesítésének vagy helyettesítésének módszere.

Ennek a módszernek a lényege abban rejlik, hogy egy új integrációs változó bevezetésével lehetséges az adott integrált redukálni

új integrál, amelyet a közvetlen integráció vesz fel.

Fontolja meg ezt a módszert:

Legyen folytonos függvény

meg kell találni: (1)

Változtassuk meg az integrációs változót:

ahol φ (t) egy monoton függvény, amelynek folytonos deriváltja van

és van egy f(φ(t)) komplex függvény.

F (x) = F (φ (t))-ra alkalmazva a komplex differenciációs képletét

függvényeket kapjuk:

﴾F(φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

De F (x) = f (x) = f (φ (t)), tehát

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

Így az F(φ (t)) függvény a függvény antideriváltja

f (φ (t)) ∙ φ′ (t), tehát:

∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

Figyelembe véve, hogy F (φ (t)﴿ = F (x), az (1) és (4) a helyettesítési képletet követi

változó a határozatlan integrálban:

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)

Formálisan az (5) képletet úgy kapjuk meg, hogy x helyett φ (t) és dx helyett φ′ (t)dt

Az (5) képlettel történő integrálás után kapott eredmény következik

menj vissza x-hez. Ez mindig lehetséges, hiszen

pozícióban az x = φ (t) függvény monoton.

A helyettesítés jó megválasztása általában jól ismert munkát jelent.

ness. Leküzdéséhez el kell sajátítani a differenciálás technikáját

idézni és jól ismerni a táblázatos integrálokat.

Azonban továbbra is beállíthatja Általános szabályokés néhány trükk

integráció.

A helyettesítési módszerrel történő integráció szabályai:

1. Határozza meg, hogy ez az integrál melyik táblaintegrálra redukálódik (ha szükséges, előzőleg átalakította az integrandust).

2. Határozza meg, hogy az integrandus melyik részét kell lecserélni

új változót, és rögzítse ezt a cserét.

3. Keresse meg a rekord mindkét részének különbségeit, és fejezze ki a differenciált!

a régi változó (vagy egy kifejezés, amely ezt a különbséget tartalmazza

rencial) az új változó differenciálján keresztül.

4. Cserélje ki az integrál alatt.

5. Keresse meg a kapott integrált!

6. Ennek eredményeként lépjen a régi változóra.

Példák az integrálok helyettesítési módszerrel történő megoldására:

1. Keresse meg: ∫ x²(3+2x) dx

Megoldás:

cseréljünk be 3+2x = t

Keresse meg a helyettesítés mindkét részének különbségét:

6x dx = dt, honnan

Következésképpen:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

Ha a t-t a helyettesítési kifejezésére cseréljük, a következőt kapjuk:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C

Megoldás:

= ∫ = e = e + C = e + C

Megoldás:

Megoldás:

Megoldás:

A határozott integrál fogalma.

Bármely antiderivatív függvény értékkülönbségét, amikor az argumentum értékről -re változik, ezt a függvény integráljának nevezzük az a-tól b-ig terjedő tartományban, és jelöljük:

a-t és b-t az integráció alsó és felső határának nevezzük.

A határozott integrál kiszámításához a következőkre van szüksége:

1. Keresse meg a megfelelő határozatlan integrált!

2. Helyettesítse be az eredményül kapott kifejezésben x helyett először az integráció felső határát, majd az alsó határt - a.

3. Vonja ki a második eredményt az első helyettesítési eredményből.

Röviden, ez a szabály képletek formájában a következő:

Ezt a képletet Newton-Leibniz képletnek nevezik.

A határozott integrál főbb tulajdonságai:

1. , ahol K=áll

3. Ha , akkor

4. Ha a függvény nem negatív az intervallumon, ahol , akkor

Ha egy meghatározott integrálban a régi integrációs változót újra cseréljük, akkor a régi integrációs korlátokat újakra kell cserélni. Ezeket az új határértékeket a választott helyettesítés határozza meg.

Határozott integrál alkalmazása.

Egy görbe vonalú trapéz területe, amelyet egy görbe, egy x tengely és két egyenes határol és képlettel számolva:

Egy görbe vonalú trapéz abszcissza tengelye körüli forgással kialakított test térfogata, amelyet egy görbe határol, amely nem változtatja az előjelét -val, az abszcissza tengely és két egyenes és képlettel számolva:

Egy határozott integrál segítségével számos fizikai probléma is megoldható.

Például:

Ha egy egyenesen mozgó test sebessége a t idő ismert függvénye, akkor a test által a t \u003d t 1 időtől a t \u003d t 2 időpontig megtett S utat a következő képlet határozza meg:

Ha a változó erő az S út ismert függvénye (feltételezzük, hogy az erő iránya nem változik), akkor az erő által a -tól ig terjedő úton végzett A munkát a következő képlet határozza meg:

Példák:

1. Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét:

y = ; y = (x-2) 2; 0x.

Megoldás:

a) Készítsünk függvénygráfokat: y = ; y=(x-2)2

b) Határozza meg azt az ábrát, amelynek területét ki szeretné számítani!

c) Határozza meg az integráció határait az egyenlet megoldásával: = (x-2) 2 ; x = 1

d) Számítsa ki az adott ábra területét:

S = dx + 2 dx = 1 egység 2

2. Számítsa ki az ábra vonallal határolt területét:

Y = x 2; x = y 2 .

Megoldás:

x 2 = ; x 4 \u003d x;

x (x 3 - 1) = 0

x 1 = 0; x2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3 \ 2 - ) │ 0 1 = 2. egység

3. Számítsd ki a vonalakkal határolt ábra 0x tengelye körüli elforgatással kapott test térfogatát: y = ; x = 1.

Megoldás:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 egység 3

itthon teszt matematika
Feladat opciók.

1. számú lehetőség

y = (x + 1) 2; y \u003d 1 - x; 0x

2. számú lehetőség

1. Oldja meg az egyenletrendszert háromféleképpen:

2. Számítsa ki az integrálokat a változó megváltoztatásával:

3. Számítsa ki az ábra vonallal határolt területét:

y \u003d 6 - x; y=x2+4

3. számú lehetőség.

1. Oldja meg az egyenletrendszert háromféleképpen:

2. Számítsa ki az integrálokat a változó megváltoztatásával:

3. Számítsa ki az ábra vonallal határolt területét:

y \u003d - x 2 + 5; y=x+3

4-es számú lehetőség.

1. Oldja meg az egyenletrendszert háromféleképpen:

2. Számítsa ki az integrálokat a változó megváltoztatásával:

3. Számítsa ki az ábra vonallal határolt területét:

y=x2; x = 3; Ökör

5-ös számú opció.

1. Oldja meg az egyenletrendszert háromféleképpen:

2. Számítsa ki az integrálokat a változó megváltoztatásával:

3. Számítsa ki az ábra vonallal határolt területét:

y \u003d 3 + 2x - x 2; Ökör

6-os számú lehetőség.

1. Oldja meg az egyenletrendszert háromféleképpen:

2. Számítsa ki az integrálokat a változó megváltoztatásával:

3. Számítsa ki az ábra vonallal határolt területét:

y = x + 6 y = 8 + 2x – x2

7-es számú opció

1. Oldja meg az egyenletrendszert háromféleképpen:

2. Számítsa ki az integrálokat a változó megváltoztatásával:

3. Számítsa ki az egyenesekkel határolt ábra Ox körüli elforgatásával keletkezett test térfogatát:

y = sin x ; y = 0 x = 0 x = π

8-as számú opció.

1. Oldja meg az egyenletrendszert háromféleképpen:

2. Számítsa ki az integrálokat a változó megváltoztatásával:

Bibliográfia

1. Írásbeli D.T. Előadások kivonata a felsőfokú matematikáról 1., 2. rész. M. AIRIS PRESS, 2006.

2. Grigorjev V.P., Dubinszkij Yu.A. A felsőbb matematika elemei. M. Akadémia, 2008

3. Vygodsky M.Ya. A felsőbb matematika kézikönyve. M. Science, 2001

4. Shipachev V.S. Felső matematika. M. Felsőiskola, 2005

5. Shipachev V.S. Feladatkönyv a felsőbb matematikáról. M. Felsőiskola, 2005

A határozatlan integrálban lévő változó változását olyan integrálok keresésére használjuk, amelyekben az egyik függvény egy másik függvény deriváltja. Legyen egy $ \int f(x) dx $ integrál, tegyük meg a $ x=\phi(t) $ helyettesítést. Vegye figyelembe, hogy a $ \phi(t) $ függvény differenciálható, így a $ dx = \phi"(t) dt $ megtalálható.

Most behelyettesítjük a $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ elemet az integrálba, és megkapjuk, hogy:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

Ez az változó változási képlet határozatlan integrálban.

Változó helyettesítési módszer algoritmusa

Így ha a feladatban a form integrálja van megadva: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Célszerű a változót egy újra cserélni: $ $ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

Ezt követően az integrál a fő integrációs módszerekkel könnyen átvehető formában jelenik meg: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$

Ne felejtse el visszaállítani a helyettesített változót is $x$ értékre.

Megoldási példák

1. példa

Keresse meg a határozatlan integrált a változó metódus megváltoztatásával: $$ \int e^(3x) dx $$

Megoldás

Az integrál változóját a következőre változtatjuk: $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Az exponenciális integrál továbbra is ugyanaz az integrációs tábla szerint, bár a $ x $ helyett $ t $ van írva: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. Részletes megoldást adunk. Képes lesz megismerkedni a számítás menetével és információkat gyűjteni. Ez segít abban, hogy időben kreditet kapjon a tanártól!

Válasz

$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

A módszer a következő képletre épül: ò f(x)dx = ò f(j(t)) j`(t) dt, ahol x = j(t) a vizsgált intervallumon differenciálható függvény.

Bizonyíték. Keresse meg a t változóra vonatkozó deriváltokat a képlet bal és jobb oldali részéből!

Figyeljük meg, hogy a bal oldalon egy komplex függvény található, amelynek köztes argumentuma x = j(t). Ezért, hogy t-re vonatkoztatva megkülönböztessük, először az integrált differenciáljuk x-hez képest, majd vesszük a köztes argumentum deriváltját t-re.

(ò f(x)dx)` t = (ò f(x)dx)` x *x` t = f(x) j`(t)

A jobb oldal származéka:

(ò f(j(t)) j`(t) dt)` t = f(j(t)) j`(t) = f(x) j`(t)

Mivel ezek a deriváltak egyenlőek, a Lagrange-tétel következményéből adódóan a bizonyított formula bal és jobb oldali része valamilyen állandóval különbözik. Mivel maguk a határozatlan integrálok egy határozatlan állandó tagig vannak definiálva, ez az állandó elhagyható a végső jelölésben. Igazolt.

A változó sikeres megváltoztatása lehetővé teszi, hogy az eredeti integrált leegyszerűsítsük, legegyszerűbb esetben pedig táblázatossá redukáljuk. A módszer alkalmazása során megkülönböztetjük a lineáris és a nemlineáris helyettesítés módszereit.

a) Tekintsük a lineáris helyettesítési módszert egy példa segítségével.

1. példa. Legyen t = 1 – 2x, akkor

dx = d(½ - ½ t) = - ½ dt

Megjegyzendő, hogy az új változót nem kell kifejezetten kiírni. Ilyenkor egy függvény transzformációjáról beszélünk a differenciál előjele alatt, vagy konstansok és változók bevezetéséről a differenciál előjele alatt, azaz. ról ről implicit változóhelyettesítés.

2. példa Keressük például a òcos(3x + 2)dx értéket. A differenciálmű tulajdonságai szerint
dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), akkor òcos(3x + 2)dx = ò(1/3)cos(3x + 2)d(3x +
+ 2) = (1/3)òcos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) + C.

Mindkét vizsgált példában a t = kx + b (k ¹ 0) lineáris helyettesítést használtuk az integrálok meghatározásához.

Általános esetben a következő tétel áll fenn.

Lineáris helyettesítési tétel. Legyen F(x) valamilyen antiderivált az f(x) függvényre. Ekkor òf(kx + b)dx = (1/k)F(kx + b) + C, ahol k és b néhány állandó, k ¹ 0.

Bizonyíték.

Az integrál definíciója szerint òf(kx + b)d(kx + b) = F(kx + b) + C. Ho
d(kx + b)= (kx + b)`dx = kdx. Vegyük ki az integráljelből a k konstans tényezőt: kòf(kx + b)dx = F(kx + b) + C. Most eloszthatjuk az egyenlőség bal és jobb részét k-val, és megkapjuk a következő állítást. konstans tag jelöléséig bizonyult.

Ez a tétel kimondja, hogy ha a (kx + b) kifejezést behelyettesítjük az ò f(x)dx = F(x) + C integrál definíciójában, akkor ez egy további 1/k tényező megjelenéséhez vezet. az antiderivatív.

A bizonyított tétel segítségével a következő példákat oldjuk meg.

3. példa

Találjuk meg. Itt kx + b = 3 – x, azaz. k = -1, b = 3. Ekkor

4. példa

Találjuk meg. Itt kx + b = 4x + 3, azaz. k = 4, b = 3. Ekkor

5. példa

Találjuk meg. Itt kx + b = -2x + 7, azaz. k = -2, b = 7. Ekkor

.

6. példa Találjuk meg. Itt kx + b = 2x + 0, azaz. k = 2, b = 0.

.

Hasonlítsuk össze a kapott eredményt a 8. példával, amelyet dekompozíciós módszerrel oldottunk meg. Ugyanezt a problémát más módszerrel megoldva megkaptuk a választ . Hasonlítsuk össze a kapott eredményeket: . Így ezek a kifejezések egy állandó taggal különböznek egymástól, pl. a kapott válaszok nem mondanak ellent egymásnak.

7. példa Találjuk ki . Kijelölünk egy teljes négyzetet a nevezőben.

Egyes esetekben a változó megváltoztatása nem redukálja közvetlenül az integrált táblázatossá, de leegyszerűsítheti a megoldást azáltal, hogy a következő lépésben lehetővé teszi a dekompozíciós módszer alkalmazását.

8. példa Például keressük meg. Cseréljük le t = x + 2, majd dt = d(x + 2) = dx. Akkor

,

ahol C \u003d C 1 - 6 (ha t helyett az (x + 2) kifejezést helyettesítjük az első két tag helyett, ½x 2 -2x - 6-ot kapunk).

9. példa Találjuk meg. Legyen t = 2x + 1, akkor dt = 2dx; dx = ½ dt; x = (t - 1)/2.

A t helyett a (2x + 1) kifejezést helyettesítjük, nyissuk ki a zárójeleket és adjunk hasonlókat.

Vegyük észre, hogy az átalakítások során egy másik állandó tagra tértünk át, mert az átalakulások folyamatában lévő konstans tagok csoportja elhagyható.

b) Tekintsük a nemlineáris helyettesítés módszerét egy példán keresztül.

1. példa. Legyen t = - x 2 . Továbbá kifejezhetjük x-et t-ig, majd kereshetünk egy kifejezést dx-re, és végrehajthatjuk a változó megváltoztatását a kívánt integrálban. De ebben az esetben könnyebb másként csinálni. Keresse meg dt = d(-x 2) = -2xdx. Vegye figyelembe, hogy az xdx kifejezés a szükséges integrál integrandusának tényezője. A kapott xdx = - ½ dt egyenlőségből fejezzük ki. Akkor

= ò (- ½)e t dt = (- ½)ò e t dt = (- ½)e t + C = (- ½) + C

Nézzünk még néhány példát.

2. példa Találjuk meg. Legyen t = 1-x2. Akkor

3. példa Találjuk meg. Legyen t = . Akkor

;

4. példa Nemlineáris helyettesítés esetén célszerű az implicit változók helyettesítése is.

Például keressük meg. Írjunk xdx =
= (-1/4)d(3 - 2x 2) (implicit módon helyettesítve a t = 3 - 2x 2 változóval). Akkor

5. példa Találjuk ki . Itt is bemutatunk egy változót a differenciáljel alatt: (implicit változás t = 3 + 5x 3). Akkor

6. példa Találjuk meg. Mert a ,

7. példa Találjuk meg. Azóta

Nézzünk meg néhány példát, amelyekben szükségessé válik a különböző helyettesítések kombinálása.

8. példa Találjuk ki . Hadd
t = 2x + 1, akkor x = (t – 1)/2; dx = ½ dt.

9. példa Találjuk ki . Hadd
t = x - 2, akkor x = t + 2; dx=dt.