Építsen egy függvényt

Figyelmébe ajánljuk a függvénygrafikonok online ábrázolására szolgáló szolgáltatást, amelynek minden joga a céget illeti Desmos. A bal oldali oszlop segítségével adja meg a függvényeket. Megadhatja manuálisan vagy a virtuális billentyűzet az ablak alján. A diagramablak nagyításához elrejtheti a bal oldali oszlopot és a virtuális billentyűzetet is.

Az online térképezés előnyei

• A bevezetett funkciók vizuális megjelenítése
• Nagyon összetett grafikonok készítése
• Implicit módon definiált gráfok ábrázolása (pl. ellipszis x^2/9+y^2/16=1)
• Lehetőség a diagramok mentésére és a rájuk mutató hivatkozás lekérésére, amely mindenki számára elérhetővé válik az interneten
• Skálaszabályozás, vonalszín
• Grafikonok pontonkénti ábrázolásának képessége, konstansok használata
• Egyszerre több függvénygrafikon szerkesztése
• Polárkoordináták ábrázolása (használjon r és θ(\theta))

Nálunk egyszerű a különböző bonyolultságú grafikonok online összeállítása. Az építkezés azonnal megtörténik. A szolgáltatás igényes a függvények metszéspontjainak megtalálására, grafikonok megjelenítésére azok további mozgatásához word dokumentum illusztrációként a feladatok megoldásában, a függvénygráfok viselkedési sajátosságainak elemzésére. A webhely ezen oldalán található diagramokkal való munkavégzéshez az optimális böngésző a Google Chrome. Más böngészők használata esetén a megfelelő működés nem garantált.

Ismerkedjünk meg a függvények szuperpozíciójának (vagy kikényszerítésének) fogalmával, amely abból áll, hogy egy adott függvény argumentuma helyett egy másik argumentum valamely függvénye kerül behelyettesítésre. Például a függvények szuperpozíciója függvényt ad, hasonlóképpen függvényeket kapunk

Általánosságban tegyük fel, hogy egy függvény egy tartományban van definiálva, egy függvény pedig egy tartományban van definiálva, és minden értéke a tartományban van, akkor a z változó, ahogy mondják, y-n keresztül, maga a függvénye

Egy adott -tól először keresse meg a neki megfelelő y értéket (az Y-ból származó y érték előjelével jellemezhető szabály szerint, majd állítsa be a megfelelő y értéket (a szabály szerint,

előjel jellemzi, és annak értékét a választott x-nek megfelelőnek tekintjük. A függvényből vagy komplex függvényből eredő függvény a függvények szuperpozíciójának eredménye

Az a feltételezés, hogy egy függvény értékei nem lépik túl azt az Y régiót, amelyben a függvény definiálva van, meglehetősen jelentős: ha kihagyjuk, akkor abszurditás adódhat. Például, ha feltételezzük, hogy csak azokat az x értékeket tudjuk figyelembe venni, amelyekre egyébként a kifejezésnek nem lenne értelme.

Hasznosnak tartjuk itt hangsúlyozni, hogy egy függvény komplexként való jellemzése nem kapcsolódik z x-től való funkcionális függésének természetéhez, hanem csak a függőség specifikációjának módjához. Például engedje be y-nak a Akkor

Itt kiderült, hogy a függvény komplex függvényként adott.

Most, hogy a függvények szuperpozíciójának fogalmát teljesen tisztáztuk, pontosan jellemezhetjük az elemzés során vizsgált függvényosztályok legegyszerűbbjét: ezek mindenekelőtt a fent felsorolt ​​elemi függvények, majd mindazok, amelyeket az elemzés során nyerünk. négy aritmetikai művelettel és szuperpozícióval, egymás után véges számú alkalommal alkalmazva. Azt mondják róluk, hogy az elemieken keresztül fejeződnek ki végső formában; néha mindegyiket eleminek is nevezik.

Ezt követően egy bonyolultabb elemző apparátus (végtelen sorozatok, integrálok) elsajátítása után más, az elemzésben szintén fontos szerepet játszó, de már az elemi függvények osztályán túlmutató függvényekkel is megismerkedünk.

Legyen 2 függvény:

: A→B és g: D→F

Legyen benne a g függvény D tartománya az f függvény tartományában (DB). Akkor lehet meghatározni új funkció – szuperpozíció (összetétel, komplex függvény) f és g függvények: z= g( (x)).

Példák. f(x)=x2, g(x)=ex. f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Meghatározás

Legyen két függvény. Ekkor összetételük az egyenlőség által meghatározott függvény:

Összetétel tulajdonságai

A kompozíció asszociatív:

Ha F= id x- identitástérkép bekapcsolva x, vagyis

.

Ha G= id Y- identitástérkép bekapcsolva Y, vagyis

.

További tulajdonságok

Megszámlálható és megszámlálhatatlan halmazok.

Két véges halmaz egyenlő számú elemből áll, ha e halmazok között egy az egyhez megfeleltetés állapítható meg. Egy véges halmaz elemeinek száma a halmaz számossága.

Egy végtelen halmaz esetén létrehozhatunk egy-egy megfeleltetést a teljes halmaz és annak része között.

A végtelen halmazok közül a legegyszerűbb az N halmaz.

Meghatározás. Az A és B halmazt hívjuk egyenértékű(AB), ha közöttük egy-egy megfelelés létesíthető.

Ha két véges halmaz egyenértékű, akkor ugyanannyi elemből állnak.

Ha az A és B ekvivalens halmazok tetszőlegesek, akkor azt mondják, hogy A és B ugyanaz erő. (hatvány = ekvivalencia).

A véges halmazok esetében a számosság fogalma egybeesik a halmaz elemszámának fogalmával.

Meghatározás. A készlet ún megszámlálható ha lehetséges egy az egyhez megfeleltetést megállapítani közte és a természetes számok halmaza között. (Azaz egy megszámlálható halmaz végtelen, ekvivalens az N halmazzal).

(Azaz egy megszámlálható halmaz minden eleme felsorolható).

Egyenértékűségi kapcsolat tulajdonságai.

1) AA - reflexivitás.

2) AB, majd BA - szimmetria.

3) AB és BC, akkor AC a tranzitivitás.

Példák.

1) n→2n, 2,4,6,… - páros természetes számok

2) n→2n-1, 1,3,5,… páratlan természetes számok.

Megszámlálható halmazok tulajdonságai.

1. Egy megszámlálható halmaz végtelen részhalmazai megszámlálhatók.

Bizonyíték. Mert A megszámlálható, ekkor A: x 1, x 2, ... - A jelenik meg N-ben.

ВА, В: →1,→2,… - minden elemhez В természetes szám hozzárendelve, azaz. B-t N-re leképezve. Ezért B megszámlálható. Ch.t.d.

2. Megszámlálható halmazok véges (megszámlálható) rendszerének uniója megszámlálható.

Példák.

1. A Z egész számok halmaza megszámlálható, mert A Z halmaz az A és B megszámlálható halmazok uniójaként ábrázolható, ahol A: 0,1,2,.. és B: -1,-2,-3,…

2. Sok szabályos párok ((m,n): m,nZ) (azaz (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . A racionális számok halmaza megszámlálható.

Q=. A Q irreducibilis törtek halmaza és a rendezett párok halmaza között egy az egyhez megfeleltetés állapítható meg:

Hogy. a Q halmaz ekvivalens a ((p,q))((m,n)) halmazzal.

A halmaz ((m,n)) - az összes rendezett pár halmaza - megszámlálható. Következésképpen a ((p,q)) halmaz is megszámlálható, így Q megszámlálható.

Meghatározás. Az irracionális szám tetszőleges végtelen tizedes nem időszakos töredék, azaz  0 , 1  2 …

Az összes tizedes tört halmaza alkotja a halmazt valós (valós) számok.

Az irracionális számok halmaza megszámlálhatatlan.

1. tétel. Egy csomó valós számok a (0,1) intervallumból egy megszámlálhatatlan halmaz.

Bizonyíték. Tegyük fel az ellenkezőjét, pl. hogy a (0,1) intervallumban lévő összes szám felsorolható. Ezután ezeket a számokat végtelen tizedes törtként felírva a következő sorozatot kapjuk:

x 1 \u003d 0, a 11 a 12 ... a 1n ...

x 2 \u003d 0,a 21 a 22 ... a 2n ...

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Tekintsünk most egy valós számot x=0,b 1 b 2 ... b n ..., ahol b 1 bármely szám, amely nem a 11, (0 és 9), b 2 - bármely szám, amely nem a 22, (0 és 9) ,…, b n - bármely számjegy, amely nem a nn , (0 és 9).

Hogy. x(0,1), de xx i (i=1,…,n), mert egyébként b i =a ii . Ellentmondásba jutottak. Ch.t.d.

2. tétel. A valós tengely bármely intervalluma megszámlálhatatlan halmaz.

3. tétel. A valós (valós) számok halmaza megszámlálhatatlan.

Minden olyan halmazt, amely ekvivalens a valós számok halmazával, annak mondjuk folytonos hatalmak(lat. kontinuum - folyamatos, folyamatos).

Példa. Mutassuk meg, hogy az intervallumnak a kontinuum számossága van.

Az y \u003d tg x: → R függvény az intervallumot a teljes számegyenesen (grafikonon) jeleníti meg.

Téma: „Funkció: fogalom, hozzárendelési módszerek, főbb jellemzők. Inverz függvény. A függvények szuperpozíciója."

Az óra epigráfiája:

„Tanulj valamit, és ne gondolj rá

tanult – teljesen haszontalan.

Tanulás nélkül gondolkodni valamin

előzetes gondolati tárgy

Konfuciusz.

Az óra célja és pszichológiai, pedagógiai feladatai:

1) Általános nevelési (normatív) cél: ismételje meg a tanulókkal egy függvény definícióját és tulajdonságait. Mutassa be a függvények szuperpozíciójának fogalmát!

2) A tanulók matematikai fejlesztésének feladatai: nem szabványos oktatási és matematikai anyagokon a tanulók mentális tapasztalatának fejlesztése, matematikai intelligenciáik értelmes kognitív struktúrájának továbbfejlesztése, beleértve a logikai-deduktív és induktív, analitikus és szintetikus reverzibilis gondolkodás képességét, az algebrai és figuratív gondolkodást. a grafikus gondolkodás, az értelmes általánosítás és konkretizálás, a reflexió és az önállóság, mint a tanulók metakognitív képessége; folytatni az írott és szóbeli beszéd kultúrájának, mint a nevelési és matematikai intelligencia pszichológiai mechanizmusainak fejlesztését.

3) Nevelési feladatok: a tanulók matematika iránti kognitív érdeklődésének, felelősségvállalásának, kötelességtudatának, tanulmányi önállóságának, csoporttal, tanárral, osztálytársakkal való együttműködés kommunikációs képességének személyes továbbképzése; autológiai képesség versenyképes oktatási és matematikai tevékenységre, annak magas és legmagasabb eredményeire való törekvés (acmeic motívum).

Az óra típusa: új anyag tanulása; a vezető matematikai tartalom kritériuma szerint - gyakorlati óra; a tanulók és a tanár közötti információs interakció típusának kritériuma szerint - együttműködési lecke.

Az óra felszerelése:

1. Oktatási irodalom:

1) Kudrjavcev a matematikai elemzésről: Proc. egyetemi és egyetemi hallgatók számára. 3 kötetben T. 3. - 2. kiadás, átdolgozva. és további - M .: Magasabb. iskola, 1989. - 352 p. : ill.

2) Demidovich problémák és gyakorlatok a matematikai elemzésben. – 9. kiadás. - M .: "Nauka" kiadó, 1977.

2. Illusztrációk.

Az órák alatt.

1. Az óra témakörének és fő nevelési céljának meghirdetése; a tanulók kötelességtudatának, felelősségtudatának, kognitív érdeklődésének serkentése a foglalkozásra való felkészülés során.

2. A kérdésekre vonatkozó anyag ismétlése.

a) Határozza meg a függvényt!

Az egyik matematikai alapfogalom a függvény fogalma. A függvény fogalma két halmaz elemei közötti kapcsolat létrehozásához kapcsolódik.

Legyen két nem üres halmaz és adott. Egy olyan f egyezést hívunk meg, amely minden elemhez egy és csak egy elemet illeszt funkció és felírva y = f(x). Azt is mondják, hogy az f függvény megjeleníti beállítva.

A https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> neve értékkészlet f függvényt és E(f)-vel jelöljük.

b) Numerikus függvények. Függvénygrafikon. A funkciók beállításának módjai.

Legyen adott függvény.

Ha a és halmazok elemei valós számok, akkor az f függvényt hívjuk meg numerikus függvény . Az x változót hívjuk érv vagy egy független változó, és y az funkció vagy függő változó(x-ből). Magukat az x és y mennyiségeket illetően azt mondják, hogy benne vannak funkcionális függőség.

Függvénygrafikon y = f(x) az Oxy sík összes pontjának halmaza, amelyek mindegyikére x az argumentum értéke, y pedig a függvény megfelelő értéke.

Az y = f(x) függvény definiálásához meg kell adni egy szabályt, amely lehetővé teszi x ismeretében, hogy megtalálja y megfelelő értékét.

A függvények meghatározásának három leggyakoribb módja van: analitikus, táblázatos, grafikus.

Analitikai módszer: A függvény egy vagy több képletként vagy egyenletként van megadva.

Például:

Ha az y = f(x) függvény tartománya nincs megadva, akkor feltételezzük, hogy egybeesik az argumentum összes értékének halmazával, amelyre a megfelelő képletnek van értelme.

A függvény beállításának analitikus módszere a legtökéletesebb, mivel olyan matematikai elemzési módszerek társulnak hozzá, amelyek lehetővé teszik az y = f(x) függvény teljes körű feltárását.

Grafikus mód: Beállítja a függvény grafikonját.

A grafikai feladat előnye a láthatósága, hátránya a pontatlansága.

Táblázatos mód: A függvényt argumentumértékek sorozatából és a megfelelő függvényértékekből álló táblázat határozza meg. Például a jól ismert értéktáblázatok trigonometrikus függvények, logaritmikus táblázatok.

c) A függvény főbb jellemzői.

1. Meghívjuk a D halmazon definiált y = f(x) függvényt még , ha a feltételek teljesülnek és f(-x) = f(x); páratlan , ha a feltételek teljesülnek és f(-x) = -f(x).

A páros függvény grafikonja szimmetrikus az Oy tengelyre, a páratlan függvény pedig szimmetrikus az origóra. Például páros függvények; és y = sinx, a https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> általános függvények, azaz se nem páros, se nem páratlan .

2. Legyen az y = f(x) függvény definiálva a D halmazon, és legyen . Ha az érvek bármely értéke esetén az egyenlőtlenség egyenlőtlenséget jelent: , akkor a függvény meghívásra kerül növekvő a forgatáson ; Ha , akkor a függvény meghívásra kerül nem csökkenő a https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src="> oldalon, akkor a függvény meghívásra kerül. fogyó tovább ; - nem növekvő .

Növelő, nem növekvő, csökkenő és nem csökkenő funkciók a készleten https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">D érték (x +T)D és az f(x+T) = f(x) egyenlőség teljesül.

A T periódus periodikus függvényének ábrázolásához elegendő azt bármely T hosszúságú szakaszon ábrázolni, és periodikusan kiterjeszteni a teljes definíciós tartományra.

Megjegyezzük a periodikus függvény főbb tulajdonságait.

1) Az azonos T periódusú periodikus függvények algebrai összege egy T periódusú periodikus függvény.

2) Ha az f(x) függvénynek T periódusa van, akkor az f(ax) függvénynek T/a periódusa van.

d) Inverz függvény.

Legyen megadva az y = f(x) függvény a D definíciós tartományával és az E..gif" width="48" height="22"> értékkészlettel, akkor az x = z(y) függvény Az E definíció tartományával és a D értékkészlettel Egy ilyen z(y) függvényt hívunk fordított az f(x) függvényhez, és a következő formában van írva: . Az y = f(x) és x = z(y) függvényeket kölcsönösen inverzeknek mondjuk. Ahhoz, hogy az x = z(y) függvényt az y = f(x) függvényre inverzként találjuk meg, elegendő megoldani az f(x) = y egyenletet x függvényében.

Példák:

1. Egy y = 2x függvény esetén az inverz függvény az x = ½ y függvény;

2. A funkcióhoz az inverz függvény a függvény.

Az inverz függvény definíciójából következik, hogy az y = f(x) függvénynek akkor és csak akkor van inverze, ha f(x) egy az egyhez egyezést definiál a D és E halmazok között. Ebből következik, hogy bármely szigorúan monoton függvénynek inverze van . Sőt, ha a függvény nő (csökken), akkor az inverz függvény is nő (csökken).

3. Új anyag elsajátítása.

Bonyolult funkció.

Legyen definiálva az y = f(u) függvény a D halmazon, és az u = z(x) függvény a halmazon, és a megfelelő értékre . Ekkor a halmaznak van egy u = f(z(x)) függvénye, amelyet hívunk összetett funkció x-ből (vagy szuperpozíció adott függvények, ill függvény függvényből ).

Az u = z(x) változót hívjuk köztes érvösszetett funkció.

Például az y = sin2x függvény két y = sinus és u = 2x függvény szuperpozíciója. Egy összetett függvénynek több köztes argumentuma is lehet.

4. Több példa megoldása a táblánál.

5. Az óra befejezése.

1) elméleti és alkalmazott eredmények gyakorlati foglalkozás; a tanulók mentális tapasztalati szintjének differenciált értékelése; a téma asszimilációjának szintje, kompetenciája, a szóbeli és írásbeli matematikai beszéd minősége; a megnyilvánuló kreativitás szintje; a függetlenség és a reflexió szintje; kezdeményezőkészség, kognitív érdeklődés a matematikai gondolkodás egyes módszerei iránt; együttműködési szintek, szellemi versenyképesség, törekvés nagy teljesítményű oktatási és matematikai tevékenységek stb.;

2) indokolt jegyek, tanórai pontok kihirdetése.

Funkciók szuperpozíciója

Az f1, …, fm függvények szuperpozíciója egy f függvény, amelyet úgy kapunk, hogy ezeket a függvényeket egymásba helyettesítjük és változókat nevezünk át.

Legyen két leképezés és ráadásul egy nem üres halmaz. Ekkor a függvények szuperpozíciója vagy összetétele olyan függvény, amelyet bármelyikre egyenlőség határoz meg.

A szuperpozíció definíciós tartománya egy halmaz.

A függvényt külsőnek, a szuperpozíció belső függvényének nevezzük.

Az "egyszerűbbek" összetételeként bemutatott függvényeket összetett függvényeknek nevezzük.

Példák a szuperpozíció használatára: egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel; függvény deriváltjának megtalálása; egy algebrai kifejezés értékének megtalálása adott változók értékeinek behelyettesítésével.

Rekurzív függvények

A rekurzió a függvény definiálásának olyan módja, amelyben az argumentumok tetszőleges értékeire definiált függvény értékeit ismert módon fejezzük ki a kisebb értékekre definiált függvény értékein keresztül. az érvek közül.

Primitív rekurzív függvény

A primitív rekurzív függvény fogalmának meghatározása induktív. Ez az alapvető primitív rekurzív függvények osztályának meghatározásából és két operátorból áll (szuperpozíció és primitív rekurzió), amelyek lehetővé teszik új primitív rekurzív függvények létrehozását a meglévők alapján.

Az alapvető primitív rekurzív függvények a következő három típusú függvényt tartalmazzák:

Nulla funkció – funkció nincs vita, mindig visszatér 0 .

Egyváltozós szukcessziós függvény, amely bármely természetes számot hozzárendel a közvetlenül azt követő természetes számhoz.

Függvények, ahol n változóból, amelyek a természetes számok bármely rendezett halmazához egy számot rendelnek ebből a halmazból.

A helyettesítő és primitív rekurziós operátorok meghatározása a következő:

Szuperpozíciós operátor (néha helyettesítő operátor). Legyen m változó függvénye, és mindegyik nem változó függvényeinek rendezett halmaza. Ekkor a függvények függvénybe való szuperpozíciójának eredménye olyan változók függvénye, amely számot rendel a természetes számok bármely rendezett halmazához.

Primitív rekurziós operátor. Legyen n változó függvénye, és változó függvénye. Ekkor a primitív rekurziós operátor függvénypárra történő alkalmazásának eredménye a típusváltozó függvénye;

Ebben a definícióban egy változó iterációs számlálóként értelmezhető, -- as eredeti funkció az iterációs folyamat elején egy bizonyos függvénysorozat kiadása a változókból, kezdve és -- operátorként, amely bemeneti változóként elfogadja az iterációs lépésszámot, a függvényt ebben az iterációs lépésben, és visszaadja a függvényt következő iterációs lépés.

A primitív rekurzív függvények halmaza az összeset tartalmazó minimális halmaz alapvető funkciókatés a megadott helyettesítési és primitív rekurziós operátorok alatt zárva.

A kötelező programozás szempontjából -- a primitív rekurzív függvények olyan programblokknak felelnek meg, amelyek csak használnak aritmetikai műveletek, és feltételes operátorés egy aritmetikai hurokoperátor (olyan hurokoperátor, amelyben az iterációk száma ismert a ciklus elején). Ha a programozó a while ciklus operátort kezdi használni, amelyben az iterációk száma előre nem ismert, és elvileg végtelen is lehet, akkor átmegy a részlegesen rekurzív függvények osztályába.

Mutassunk meg néhány jól ismert aritmetikai függvényt, amelyek primitíven rekurzívak.

A két természetes szám összeadásának függvénye () tekinthető két változó primitív rekurzív függvényének, amelyet a primitív rekurziós operátor függvényekre történő alkalmazása eredményeként kapunk, és amelyek közül a másodikat úgy kapjuk meg, hogy a fő függvényt behelyettesítjük a fő függvénybe. funkció:

Két természetes szám szorzása két változó primitív rekurzív függvényének tekinthető, amelyet a primitív rekurziós operátor függvényekre történő alkalmazása eredményeként kapunk, és amelyek közül a másodikat a fő függvények behelyettesítésével az összeadási függvénybe kapjuk:

Két természetes szám () szimmetrikus különbsége (a különbség abszolút értéke) két változó primitív rekurzív függvényének tekinthető, amelyet a következő helyettesítések és primitív rekurziók alkalmazásával kapunk: