A "vagy ... vagy ..." beszédfigurával jelölve Az "A vagy B" összetett állítás akkor tekinthető igaznak, ha A vagy B igaz, de nem mindkettő egyszerre; ellenkező esetben az összetett állítás hamis.

Azok. az eredmény igaz (egyenlő 1-gyel), ha A nem egyenlő B-vel (A≠B).

Ezt a műveletet gyakran a diszjunkcióhoz hasonlítják, mert nagyon hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek, és mindkettő hasonló a mindennapi beszéd "vagy" uniójához. Hasonlítsa össze az alábbi műveletek szabályait:

1. igaz ha igaz vagy , vagy mindkettőt egyszerre.

2. igaz ha igaz vagy, de nem mindkettőt egyszerre.

Művelet kizárja utolsó lehetőség("egyszerre"), és emiatt kizárólagos "VAGY"-nak nevezik. Kétértelműség a természetes nyelv az, hogy a „vagy” unió mindkét esetben használható.

5. Implikáció (logikai következmény) két állítás egybevonásával jön létre a "ha ..., akkor ...." beszédfigura használatával.

Belépés: A®B

Az implikáció műveletével alkotott összetett állítás akkor és csak akkor hamis, ha egy igaz premisszából (az első állításból) hamis következtetés következik (a második állítás).

Azok. ha 1 0-t jelent, akkor az eredmény 0, ellenkező esetben 1.

Például a „Ha egy szám osztható 10-zel, akkor osztható 5-tel” állítás igaz, mert az első és a második állítás is igaz.

A "Ha egy szám osztható 10-zel, akkor osztható 3-mal" állítás hamis, mert hamis következtetést vonunk le egy igaz premisszából.

"Ez a négyszög egy négyzet" (DE) és "Egy adott négyszög köré kör írható" (NÁL NÉL). Ezután az összetett utasítás így szól "Ha az adott négyszög négyzet, akkor körbeírható."

A hétköznapi beszédben a link "ha akkor" az állítások közötti ok-okozati összefüggést írja le. De a logikai műveleteknél az állítások jelentését nem veszik figyelembe. Csak azok igazságát vagy hamisságát veszik figyelembe. Ezért nem szabad zavarba hozni a tartalmilag teljesen független kijelentések implikációinak "értelmetlenségét". Például így: "Ha az Egyesült Államok elnöke demokrata, akkor Afrikában vannak zsiráfok", "Ha a görögdinnye bogyó, akkor a benzinkútban van benzin."

6. Az ekvivalenciát (logikai egyenlőség, ~ º Û) úgy alakítjuk ki, hogy két állítást egyesítünk a „...ha és csak ha...” beszédfigura segítségével.

Az ekvivalencia-művelettel alkotott összetett állítás akkor és csak akkor igaz, ha mindkét állítás egyszerre hamis vagy igaz.

Például a "A számítógép akkor és csak akkor tud számításokat végezni, ha be van kapcsolva" és "A számítógép nem tud számításokat végezni, ha és csak akkor, ha nincs bekapcsolva" igazak, mivel mindkét egyszerű állítás egyszerre igaz.

igazságtáblázatok

Minden összetett állításhoz (logikai függvényhez) fel lehet építeni egy igazságtáblázatot, amely meghatározza annak igazságát vagy hamisságát az egyszerű állítások kezdeti értékeinek összes lehetséges kombinációjára.

igazságtáblázat ez táblázat nézet logikai áramkör (művelet), amely felsorolja a bemeneti jelek (operandusok) igazságértékeinek összes lehetséges kombinációját, valamint a kimeneti jel igazságértékét (a művelet eredménye) mindegyik kombinációhoz.

A fentieket tükrözve logikai műveletek az igazságtáblázatban:

Az állítások algebrájában minden logikai függvény logikai transzformációkkal redukálható három alapvetőre: logikai összeadásra, logikai szorzásra és logikai tagadásra.

Bizonyítsuk be, hogy az A®B műveletimplikáció ekvivalens a logikai kifejezéssel:

Az egyrétegű perceptronok korlátozott képességeinek bemutatása érdekében gyakran az ún. probléma mérlegeléséhez folyamodnak. XOR – Exkluzív VAGY.

A probléma lényege a következő. Az XOR logikai függvény adott - kizárólagos VAGY. Ez két argumentum függvénye, amelyek mindegyike lehet nulla vagy egy. Akkor veszi fel az értéket, ha az egyik argumentum egyenlő eggyel, de nem mindkettő, ellenkező esetben. A probléma az alábbi ábrán látható egyrétegű, egyneuronos, kétbemenetes rendszerrel szemléltethető.

Jelölje az egyik bemenetet -vel, a másikat pedig -vel, akkor ezek összes lehetséges kombinációja négy pontból áll majd a síkon. Az alábbi táblázat a bemenetek és a kimenetek közötti szükséges kapcsolatot mutatja, ahol a nulla kimenetet eredményező bemeneti kombinációk címkével, az egyetlen kimenet pedig címkével vannak ellátva.

pontokat	Jelentése	Jelentése	Szükséges kimenet
	0	0	0
	1	0	1
	0	1	1
	1	1	0

Egy idegsejt két bemenettel tetszőleges egyenes formájában döntési felületet alkothat. Ahhoz, hogy a hálózat megvalósítsa a fenti táblázatban megadott XOR függvényt, úgy kell elhelyezni az egyenest, hogy a pontok a vonal egyik oldalán, a pontok pedig a másik oldalon legyenek. Ha megpróbálunk ilyen egyenes vonalat húzni az alábbi ábrán, meg vagyunk győződve arról, hogy ez lehetetlen. Ez azt jelenti, hogy függetlenül attól, hogy milyen értékek vannak hozzárendelve a súlyokhoz és a küszöbértékekhez, az egyrétegű neurális hálózat nem képes reprodukálni az XOR függvény megjelenítéséhez szükséges bemenet-kimenet kapcsolatot.

Az XOR függvény azonban könnyen kialakítható kétrétegű hálózattal, és sokféleképpen. Tekintsük az egyik módot. Modernizáljuk az ábrán látható hálózatot egy újabb rejtett neuronréteg hozzáadásával:

Vegye figyelembe, hogy ezt a hálózatotúgy adva, ahogy van, azaz. feltételezhető, hogy már kiképzett. A nyilak feletti számok a szinaptikus súlyok értékeit mutatják. Aktiválási függvényként az egységugrás függvényt használjuk a küszöbértékkel, amelynek a következő grafikonja van:

Ekkor egy ilyen neurális hálózat működésének eredménye a következő táblázatban ábrázolható:

pontokat	Jelentése	Jelentése	Szükséges kimenet
	0	0	0	0	0	0
	1	0	1	1	0	1
	0	1	1	0	1	1
	1	1	0	0	0	0

Az első réteg két neuronja tetszőleges egyenes formájában döntési felületet alkot (a síkot két félsíkra osztja), a kimeneti réteg neuronja pedig ezt a két megoldást egyesíti, döntési felületet alkotva a az első réteg neuronjainak párhuzamos egyenesei által alkotott csík alakja:

A cikkben az XOR probléma megoldására használt neurális hálózat primitív, és nem használja a többrétegű hálózatok összes funkcióját. Nyilván többrétegű neurális hálózatok nagyobb reprezentációs erejük van, mint az egyrétegűeknek, csak a nemlinearitás megléte esetén. És ebben a hálózatban egy küszöb lineáris függvény aktiválás. Egy ilyen hálózat nem tanítható például a visszaterjesztési algoritmus alkalmazásával.

Ebben a cikkben néhány bitenkénti műveletről fogunk beszélni. Tekintsük a főbbeket: XOR (kizárólagos VAGY), ÉS (ÉS), NEM (NOT) és OR (OR).

Mint tudják, az információ minimális mértékegysége bit, amely 2 érték egyikét tárolja: 0 ( Hamis, hamis) vagy 1 ( Igaz, igaz). Így egy bitcella egyszerre csak a két lehetséges állapot egyikében lehet.

A bitek manipulálásához bizonyos műveleteket használnak - logikai vagy logikai. Bármely bitre alkalmazhatóak, függetlenül attól, hogy annak értéke nulla vagy egy. Nos, nézzünk példákat a három alapvető logikai művelet használatára.

Logikai ÉS művelet (és)

ÉS& -vel jelölve.

Az ÉS operátor 2 bittel történik, vegyük például a-t és b-t. A végrehajtás eredménye ÉS műveletek 1, ha a és b is 1. Ellenkező esetben az eredmény 0. Például az ÉS segítségével megtudhatja, hogy egy szám páros-e vagy sem.

Nézd meg az ÉS művelet igazságtáblázatát:

Logikai művelet VAGY (VAGY)

A | jellel jelölve .

Operátor VAGY 2 bittel (a és b) is végrehajtva. Az eredmény 0, ha a és b egyaránt 0, ellenkező esetben 1. Nézd meg az igazságtáblázatot.

Logikai művelet XOR (kizárólagos VAGY)

Az XOR operátort ^ jelöli.

XOR 2 bittel (a és b) végezzük. Az XOR művelet eredménye ( XOR) értéke 1, ha a b vagy a bitek egyike 1. Ellenkező esetben az XOR operátor alkalmazásának eredménye 0.

Az XOR (kizárólagos VAGY) logikai műveletének igazságtáblázata így néz ki:

Az XOR (kizárólagos VAGY) használatával felcserélheti 2 azonos adattípusú változó értékét ideiglenes változó használata nélkül. És mégis, az XOR használatával titkosíthatja a szöveget, például:

String msg = "Ez egy üzenet"; char message = msg.toCharArray(); String key = ".*)"; String encryptedString = new String(); for(int i = 0; i< message.length; i++){ encryptedString += message[i]^key.toCharArray(); }

Egyetértek, az XOR messze nem a legjobb megbízható módszer titkosítás, de ez nem jelenti azt, hogy ne lehetne semmilyen titkosítási algoritmus részévé tenni.

Logikai művelet NEM (NEM)

Ez egy bitenkénti tagadás, ezért egy bittel hajtják végre, és ~ jelöléssel.

Az eredmény a bit állapotától függ. Ha nulla állapotban van, akkor a művelet eredménye egy és fordítva. Minden rendkívül egyszerű.

Ezt a 4 logikai műveletet mindenekelőtt érdemes megjegyezni, mert segítségével szinte minden lehetséges eredményt elérhet. Vannak olyan műveletek is, mint pl<< (побитовый сдвиг влево) и >> (bitenkénti jobbra eltolás).

Logikai elemnek nevezzük azt az elektromos áramkört, amely bármilyen logikai művelet végrehajtására szolgál a bemeneti adatokon. A bemeneti adatok itt különböző szintű feszültségek formájában vannak ábrázolva, és a kimeneten egy logikai művelet eredménye is egy bizonyos szintű feszültség formájában jelenik meg.

Az operandusok ebben az esetben betáplálásra kerülnek - a logikai elem bemenetén jelek érkeznek magas vagy alacsony szintű feszültség formájában, amelyek lényegében bemeneti adatként szolgálnak. Tehát a magas szintű feszültség - egy logikai - jelzi az operandus valódi értékét, és az alacsony szintű 0 - hamis értéket. 1 - IGAZ, 0 - HAMIS.

Logikai elem- olyan elem, amely bizonyos logikai kapcsolatokat valósít meg a bemeneti és kimeneti jelek között. A logikai kapukat általában logikai áramkörök építésére használják számítógépek, az automatikus vezérlés és menedzsment diszkrét áramkörei. Minden típusú logikai elemre, függetlenül azok fizikai természetétől, a bemeneti és kimeneti jelek diszkrét értékei jellemzőek.

A logikai elemeknek egy vagy több bemenete és egy vagy két (általában egymáshoz képest fordított) kimenete van. A logikai elemek kimeneti jeleinek "nulla" és "egyes" értékét az elem által végrehajtott logikai funkció, valamint a lejátszott bemeneti jelek "nulla" és "egyes" értéke határozza meg. független változók szerepe. Vannak olyan elemi logikai függvények, amelyekből bármilyen összetett logikai függvény összeállítható.

Az elemáramkör eszközétől függően, annak elektromos paraméterek, a bemenet és a kimenet logikai szintjei (magas és alacsony feszültségszintek) azonos értékekkel rendelkeznek a magas és az alacsony (igaz és hamis) állapotokhoz.

Hagyományosan a logikai elemeket speciális rádióalkatrészek - integrált áramkörök - formájában állítják elő. A logikai műveletek, mint a konjunkció, diszjunkció, tagadás és modulo összeadás (ÉS, VAGY, NEM, kizárólagos VAGY) az alaptípusok logikai elemeivel végzett fő műveletek. Nézzük meg közelebbről az ilyen típusú logikai elemeket.

Logikai elem "AND" - kötőszó, logikai szorzás, ÉS

"ÉS" - logikai elem, amely konjunkciót vagy logikai szorzást hajt végre a bemeneti adatokon. Ennek az elemnek 2-8 bemenete és egy kimenete lehet (a gyártásban a legelterjedtebbek az „ÉS” elemek 2, 3, 4 és 8 bemenettel).

Az ábrán láthatóak az „ÉS” logikai elemek különböző számú bemeneti jelei. A szövegben az "ÉS" logikai elemet egy vagy több bemenettel "2I", "4I" stb. jelöli - az "AND" elemet két bemenettel, négy bemenettel stb.

A 2I elem igazságtáblázata azt mutatja, hogy az elem kimenete csak akkor lesz logikai egység, ha a logikai egységek egyszerre vannak az első bemeneten ÉS a második bemeneten. A másik háromban lehetséges esetek a kimenet nulla lesz.

A nyugati sémákban az "És" elem ikonjának egyenes vonala van a bejáratnál és kerekítés a kijáratnál. A hazai rendszereken - egy téglalap "&" szimbólummal.

Logikai elem "OR" - diszjunkció, logikai összeadás, VAGY

"VAGY" - logikai elem, amely diszjunkciót vagy logikai összeadást hajt végre a bemeneti adatokon. Az „AND” elemhez hasonlóan két, három, négy stb. bemenettel és egy kimenettel is elérhető. A különböző számú bemenettel rendelkező "OR" logikai elemek szimbólumai az ábrán láthatók. Ezeket az elemeket a következőképpen jelöljük: 2OR, 3OR, 4OR stb.

A "2OR" elem igazságtáblázata azt mutatja, hogy egy logikai egység megjelenéséhez a kimeneten elegendő, ha a logikai egység az első bemeneten van a VAGY a második bemeneten. Ha a logikaiak egyszerre két bemeneten vannak, akkor a kimenet is egy lesz.

A nyugati sémákban az "OR" elem ikonja egy lekerekített bemenettel és egy lekerekített, hegyes kilépéssel rendelkezik. A hazai rendszereken - egy téglalap "1" szimbólummal.

Logikai elem "NOT" - negáció, inverter, NEM

"NOT" - egy logikai elem, amely logikai negációs műveletet hajt végre a bemeneti adatokon. Ezt az egy kimenettel és csak egy bemenettel rendelkező elemet inverternek is nevezik, mivel valójában invertálja (invertálja) a bemeneti jelet. Az ábra mutatja szimbólum logikai elem "NEM".

Az inverter igazságtáblázata azt mutatja, hogy a nagy bemeneti potenciál alacsony kimeneti potenciált ad, és fordítva.

A nyugati sémákban a "NEM" elem ikonja háromszög alakú, a kijáratnál körrel. A hazai rendszereken - egy téglalap "1" szimbólummal, körrel a kijáratnál.

Logikai elem "AND-NOT" - konjunkció (logikai szorzás) tagadással, NAND

"AND-NOT" - egy logikai elem, amely logikai összeadási műveletet hajt végre a bemeneti adatokon, majd egy logikai negációs műveletet, az eredmény kimenetre kerül. Más szóval, ez alapvetően egy "AND" elem, kiegészítve egy "NOT" elemmel. Az ábrán a „2I-NOT” logikai elem szimbóluma látható.

A "NAND" elem igazságtáblázata az "AND" elem táblázatának ellentéte. Három nulla és egy helyett három egyes és nulla. A "NAND" elemet "Schaeffer elemnek" is nevezik Henry Maurice Schaeffer matematikus tiszteletére, aki először 1913-ban jegyezte meg ennek jelentőségét. Jelölve "I", csak egy körrel a kijáratnál.

Logikai elem "OR-NOT" - disjunkció (logikai összeadás) tagadással, NOR

"OR-NOT" - egy logikai elem, amely logikai összeadási műveletet hajt végre a bemeneti adatokon, majd egy logikai negációs műveletet, az eredmény kimenetre kerül. Más szóval, ez egy "OR" elem, kiegészítve egy "NOT" elemmel - egy inverterrel. Az ábrán a "2OR-NOT" logikai elem szimbóluma látható.

Az "OR-NOT" elem igazságtáblázata ellentétes az "OR-NOT" elem táblázatával. Magas potenciál a kimeneten csak egy esetben érhető el - mindkét bemenetet egyidejűleg táplálják alacsony potenciállal. „VAGY”-ként hivatkozunk rá, csak egy körrel a kimeneten, amely az inverziót jelzi.

Logikai elem "exkluzív VAGY" - kiegészítés modulo 2, XOR

"XOR" - egy logikai elem, amely a modulo 2 logikai összeadás műveletét hajtja végre a bemeneti adatokon, két bemenete és egy kimenete van. Ezeket az elemeket gyakran használják az ellenőrzési sémákban. Az ábra ennek az elemnek a szimbólumát mutatja.

A kép a nyugati sémákban olyan, mint az "OR"-é, a bemeneti oldalon egy további ívelt csíkkal, a hazainál - mint az "OR", csak az "1" helyett "=1" lesz írva.

Ezt a logikai elemet "egyenértékűségnek" is nevezik. Magas szint feszültség csak akkor lesz a kimeneten, ha a bemeneti jelek nem egyenlőek (az egyik egységen nulla vagy az egyik nulla, a másikon pedig akkor is, ha egyszerre két egység van a bemeneten, a kimenet nulla lesz - ez a különbség az "OR"-tól. Ezeket a logikai elemeket széles körben használják az összeadókban.

A kizárólagos VAGY műveletet (egyértelműsítés, két modulo összeadás) szimbólum jelöli, és csak akkor tér el a logikai VAGY-tól, ha A=1 és B=1.

Így két X1 és X2 állítás nem egyenértékűségét olyan Y állításnak nevezzük, amely akkor és csak akkor igaz, ha ezen állítások egyike igaz, a másik pedig hamis.

Ennek a műveletnek a definíciója felírható igazságtáblázatként (6. táblázat):

6. táblázat – A KIZÁRÓLAGOS VAGY művelet igazságtáblázata

A 6. táblázatból látható, hogy az elem logikája megfelel a nevének.

Ez ugyanaz az "OR" elem, egy kis különbséggel. Ha az érték mindkét bemeneten megegyezik egy logikai egységgel, akkor az "EXCLUSIVE OR" elem kimenete az "OR" elemtől eltérően nem egy, hanem nulla.

Az EXCLUSIVE OR művelet valójában két bináris számjegyet hasonlít össze egy egyezéshez.

Minden egyes logikai konnektív logikai utasításokon végzett műveletnek minősül, és saját neve és jelölése van (7. táblázat).

7. táblázat – Alapvető logikai műveletek

Kijelölés tevékenységek	olvas	Művelet neve	Alternatív megnevezések
		Tagadás (inverzió)	kötőjel fentről
		Konjunkció (logikai szorzás)
		Diszjunkció (logikai összeadás)
	Ha akkor	következmény
	Akkor és csak akkor	Egyenértékűség
	Vagy akár	KIZÁRÓLAGOS VAGY (2. modul kiegészítés)

1. A logikai műveletek végrehajtási sorrendje összetett logikai kifejezésben

Az inverzió, konjunkció, diszjunkció logikai műveleteinek rendszere lehetővé teszi egy tetszőlegesen összetett logikai kifejezés felépítését.

A logikai kifejezés értékének kiszámításakor a logikai műveletek bizonyos végrehajtási sorrendjét veszik át.

1. Inverzió.

2. Konjunkció.

3. Diszjunkció.

4. Következtetés.

5. Egyenértékűség.

A zárójelek a műveletek meghatározott sorrendjének megváltoztatására szolgálnak.

1. Logikai kifejezések és igazságtáblázatok

   1. Logikai kifejezések

Minden összetett állítás kifejezhető képletként (logikai kifejezésként), amely magában foglalja logikai változók, kijelentéseket jelölve, és logikai műveletek jelei, logikai függvényeket jelölve.

Ahhoz, hogy egy összetett állítást logikai kifejezés formájában formális nyelven (a logika algebra nyelvén) összetett állításban írhassunk meg, ki kell választani az egyszerű állításokat és a köztük lévő logikai összefüggéseket.

Írjuk fel logikai kifejezés formájában a „(2 2=5 vagy 2∙2=4) és (2∙2≠5 vagy 2∙) összetett állítást 2 ≠négy)".

Elemezzük az összetett állítást. Két egyszerű állítást tartalmaz:

A \u003d "2 2 \u003d 5" - hamis (0),

B \u003d "2 2 \u003d 4" – igaz (1).

Ekkor az összetett utasítás a következő formában írható fel:

«( DEvagyNÁL NÉL) és (Ā vagyNÁL NÉL)».

Most az utasítást logikai kifejezés formájában kell megírni, figyelembe véve a logikai műveletek végrehajtási sorrendjét. Logikai műveletek végrehajtásakor a végrehajtásuk sorrendje a következő:

inverzió, konjunkció, diszjunkció.

A zárójelek segítségével módosítható a megadott sorrend:

F = (AvNÁL NÉL) & (Ā vNÁL NÉL).

Az összetett állítások igaza vagy hamissága tisztán formálisan, az állítások algebrai törvényei alapján határozható meg, anélkül, hogy az állítások szemantikai tartalmára hivatkoznánk.

A logikai változók értékeit behelyettesítjük a logikai kifejezésbe, és az alapvető logikai műveletek igazságtáblázatait felhasználva megkapjuk a logikai függvény értékét:

F= (A v B) & ( Ā v B) = (0 v 1) & (1 v 0) = 1 és 1 = 1.

igazságtáblázatok

Azokat a táblázatokat, amelyekben a logikai műveletek az eredeti egyszerű állítások különböző értékeire vonatkozó összetett állítások számítási eredményeit tükrözik, igazságtáblázatoknak nevezzük.

Az egyszerű állításokat változók jelölik (például A és B).

Az igazságtáblázatok összeállításakor tanácsos egy bizonyos műveletsort követni:

meg kell határozni a sorok számát az igazságtáblázatban. Ez egyenlő a logikai kifejezésben szereplő logikai változók lehetséges értékkombinációinak számával. Ha a logikai változók száma az P, akkor:

sorok száma = 2 n .

Esetünkben a logikai függvény

2 változója van, ezért az igazságtáblázatban a sorok számának 4-nek kell lennie;

meg kell határozni az igazságtáblázat oszlopainak számát, amely megegyezik a logikai változók számával plusz a logikai műveletek számával.

Esetünkben a változók száma kettő: A és B, a logikai műveletek száma pedig öt (8. táblázat), vagyis az igazságtábla oszlopainak száma hét;

fel kell építeni egy igazságtáblázatot a megadott számú sorral és oszloppal, ki kell jelölni az oszlopokat, és be kell írni a táblázatba a kezdeti logikai változók lehetséges értékkészleteit;

az igazságtáblázatot oszloponként kell kitölteni, az alapvető logikai műveleteket a kívánt sorrendben és azok igazságtáblázatai szerint végrehajtva.

Most meg tudjuk határozni egy logikai függvény értékét bármely logikai változó értékkészletéhez.

8. táblázat – Logikai függvény igazságtáblázata