Zbuduj funkcję

Zwracamy uwagę na usługę wykreślania wykresów funkcji online, do której wszelkie prawa należą do firmy Desmos. Użyj lewej kolumny, aby wprowadzić funkcje. Możesz wprowadzić go ręcznie lub za pomocą Wirtualna klawiatura na dole okna. Aby powiększyć okno wykresu, możesz ukryć zarówno lewą kolumnę, jak i wirtualną klawiaturę.

Korzyści z wykresów online

• Wizualna prezentacja wprowadzonych funkcji
• Budowanie bardzo złożonych wykresów
• Wykreślanie niejawnie zdefiniowanych wykresów (np. elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Możliwość zapisywania wykresów i uzyskiwania do nich linku, który staje się dostępny dla każdego w Internecie
• Kontrola skali, kolor linii
• Możliwość kreślenia wykresów punktowych, wykorzystanie stałych
• Konstruowanie kilku wykresów funkcji jednocześnie
• Wykreślanie we współrzędnych biegunowych (użyj r i θ(\theta))

Z nami łatwo jest budować online wykresy o różnej złożoności. Budowa jest wykonywana natychmiast. Usługa jest potrzebna do znajdowania punktów przecięcia funkcji, wyświetlania wykresów w celu ich dalszego przemieszczania się dokument słowny jako ilustracje w rozwiązywaniu problemów, do analizy cech behawioralnych wykresów funkcji. Optymalną przeglądarką do pracy z wykresami na tej stronie witryny jest Google Chrome. W przypadku korzystania z innych przeglądarek poprawne działanie nie jest gwarantowane.

Zapoznajmy się z pojęciem superpozycji (lub nałożenia) funkcji, które polega na tym, że zamiast argumentu danej funkcji podstawiona jest jakaś funkcja innego argumentu. Na przykład superpozycja funkcji daje funkcję; podobnie otrzymujemy funkcje

Ogólnie rzecz biorąc, załóżmy, że funkcja jest zdefiniowana w jakiejś dziedzinie, a funkcja jest zdefiniowana w dziedzinie i wszystkie jej wartości są zawarte w dziedzinie. Wtedy zmienna z, jak mówią, poprzez y, sama jest funkcją

Dla danego z najpierw znajdź odpowiadającą mu wartość y (zgodnie z regułą charakteryzującą się znakiem wartości y z Y, a następnie ustaw odpowiednią wartość y (zgodnie z regułą,

scharakteryzowany znakiem, a jego wartość uważa się za odpowiadającą wybranemu x. Wynikowa funkcja z funkcji lub funkcji złożonej jest wynikiem superpozycji funkcji

Założenie, że wartości funkcji nie wykraczają poza obszar Y, w którym funkcja jest zdefiniowana, jest dość istotne: jeśli zostanie pominięte, może dojść do absurdu. Na przykład zakładając, że możemy brać pod uwagę tylko te wartości x, dla których inaczej wyrażenie nie miałoby sensu.

Uważamy za przydatne podkreślenie, że charakterystyka funkcji jako zespolonej nie jest związana z naturą funkcjonalnej zależności z od x, a jedynie ze sposobem określenia tej zależności. Na przykład, wstawiamy y dla Then

Tutaj funkcja okazała się być podana jako funkcja złożona.

Teraz, gdy pojęcie superpozycji funkcji zostało w pełni wyjaśnione, możemy dokładnie scharakteryzować najprostsze z tych klas funkcji, które są badane w analizie: są to przede wszystkim funkcje elementarne wymienione powyżej, a następnie wszystkie te, które są otrzymywane z je przy użyciu czterech operacji arytmetycznych i superpozycji , kolejno stosowanych skończoną liczbę razy. Mówią o nich, że wyrażają się poprzez elementarne w ostatecznej formie; czasami wszystkie są również nazywane elementarnymi.

Następnie, po opanowaniu bardziej złożonego aparatu analitycznego (szereg nieskończony, całki), zapoznamy się również z innymi funkcjami, które również odgrywają ważną rolę w analizie, ale już wykraczają poza klasę funkcji elementarnych.

Niech będą 2 funkcje:

: A→B i g: D→F

Niech dziedzina D funkcji g będzie zawarta w dziedzinie funkcji f (DB). Wtedy można zdefiniować Nowa cecha – superpozycja (skład, funkcja złożona) funkcje f i g: z= g( (x)).

Przykłady. f(x)=x 2 , g(x)=ex . f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , g((x))=.

Definicja

Niech dwie funkcje. Wtedy ich składem jest funkcja określona przez równość:

Właściwości kompozycji

Kompozycja jest asocjacyjna:

Jeśli F= id X- mapowanie tożsamości włączone X, to znaczy

.

Jeśli G= id Tak- mapowanie tożsamości włączone Tak, to znaczy

.

Dodatkowe właściwości

Zbiory przeliczalne i niepoliczalne.

Dwa skończone zbiory składają się z równej liczby elementów, jeśli między tymi zbiorami można ustalić zgodność jeden do jednego. Liczba elementów zbioru skończonego jest licznością zbioru.

W przypadku zbioru nieskończonego można ustalić relację jeden do jednego między całym zbiorem a jego częścią.

Najprostszym ze zbiorów nieskończonych jest zbiór N.

Definicja. Zbiory A i B nazywają się równowartość(AB), jeśli można nawiązać między nimi korespondencję jeden do jednego.

Jeśli dwa skończone zbiory są równoważne, to składają się z tej samej liczby elementów.

Jeśli równoważne zbiory A i B są dowolne, to mówią, że A i B mają to samo moc. (moc = równoważność).

W przypadku zbiorów skończonych pojęcie kardynalności pokrywa się z pojęciem liczby elementów w zbiorze.

Definicja. Zestaw nazywa się policzalny czy możliwe jest ustalenie korespondencji jeden do jednego między nim a zbiorem liczb naturalnych. (Oznacza to, że zbiór przeliczalny jest nieskończony, równoważny zbiorowi N).

(Tj. wszystkie elementy zbioru policzalnego mogą być wyliczone).

Właściwości relacji równoważności.

1) AA - refleksyjność.

2) AB, potem BA - symetria.

3) AB i BC, to AC jest przechodniością.

Przykłady.

1) n→2n, 2,4,6,… - parzyste liczby naturalne

2) n→2n-1, 1,3,5,… są nieparzystymi liczbami naturalnymi.

Własności zbiorów policzalnych.

1. Nieskończone podzbiory zbioru policzalnego są policzalne.

Dowód. Dlatego A jest policzalne, to A: x 1, x 2, ... - wyświetlane A w N.

ВА, В: →1,→2,… - przyporządkowane każdemu elementowi В liczba naturalna, czyli mapowane B na N. Dlatego B jest policzalne. Rozdz.

2. Związek skończonego (przeliczalnego) systemu zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny.

Przykłady.

1. Zbiór liczb całkowitych Z jest przeliczalny, ponieważ zbiór Z można przedstawić jako sumę zbiorów przeliczalnych A i B, gdzie A: 0,1,2,.. i B: -1,-2,-3,…

2. Wiele uporządkowany pary ((m,n): m,nZ) (tzn. (1,3)≠(3,1)).

3 (!) . Zbiór liczb wymiernych jest policzalny.

Q=. Można ustalić zależność jeden do jednego między zbiorem ułamków nieredukowalnych Q a zbiorem par uporządkowanych:

To. zbiór Q jest równoważny zbiorowi ((p,q))((m,n)).

Zbiór ((m,n)) - zbiór wszystkich uporządkowanych par - jest przeliczalny. W konsekwencji zbiór ((p,q)) jest również policzalny, a zatem Q jest policzalne.

Definicja. Liczba niewymierna jest arbitralną nieskończoną liczbą dziesiętną nieokresowe frakcja, tj.  0 ,  1  2 …

Zbiór wszystkich ułamków dziesiętnych tworzy zbiór liczby rzeczywiste (rzeczywiste).

Zbiór liczb niewymiernych jest niepoliczalny.

Twierdzenie 1. Wiele liczby rzeczywiste z przedziału (0,1) jest zbiorem niepoliczalnym.

Dowód. Załóżmy odwrotnie, tj. że można wyliczyć wszystkie liczby w przedziale (0,1). Następnie, zapisując te liczby jako nieskończone ułamki dziesiętne, otrzymujemy ciąg:

x 1 \u003d 0, 11 za 12 ... 1n ...

x 2 \u003d 0,a 21 a 22 ... a 2n ...

…………………..

x n =0,a n 1 a n 2 …a nn …

……………………

Rozważmy teraz liczbę rzeczywistą x=0,b 1 b 2 ... b n ..., gdzie b 1 to dowolna liczba inna niż a 11, (0 i 9), b 2 - dowolna liczba inna niż a 22, (0 oraz 9) ,…, b n - dowolna cyfra inna niż a nn , (0 i 9).

To. x(0,1), ale xx i (i=1,…,n) ponieważ w przeciwnym razie b i = a ii . Doszli do sprzeczności. Rozdz.

Twierdzenie 2. Dowolny przedział osi rzeczywistej jest zbiorem niepoliczalnym.

Twierdzenie 3. Zbiór liczb rzeczywistych (rzeczywistych) jest niepoliczalny.

Każdy zbiór, który jest równoważny zbiorowi liczb rzeczywistych, to uprawnienia kontinuum(łac. continuum - ciągłe, ciągłe).

Przykład. Pokażmy, że przedział ma moc kontinuum.

Funkcja y \u003d tg x: → R wyświetla interwał na całej linii liczbowej (wykres).

Temat: „Funkcja: pojęcie, metody przydziału, główne cechy. Funkcja odwrotna. Superpozycja funkcji."

Epigraf lekcji:

„Ucz się czegoś i nie myśl o tym

wyuczony - absolutnie bezużyteczny.

Myślenie o czymś bez nauki

wstępny przedmiot rozważań

Konfucjusz.

Cel i zadania psychologiczno-pedagogiczne lekcji:

1) Ogólny cel edukacyjny (normatywny): powtórz z uczniami definicję i właściwości funkcji. Przedstaw pojęcie superpozycji funkcji.

2) Zadania matematycznego rozwoju uczniów: na niestandardowym materiale edukacyjnym i matematycznym, kontynuować rozwój doświadczenia umysłowego uczniów, sensowną strukturę poznawczą ich inteligencji matematycznej, w tym zdolność do logicznego-dedukcyjnego i indukcyjnego, analitycznego i syntetycznego myślenia odwracalnego, do algebraicznego i figuratywnego- myślenie graficzne, do sensownego uogólniania i konkretyzacji, do refleksji i samodzielności jako zdolności metapoznawczej uczniów; kontynuacja rozwoju kultury mowy pisanej i ustnej jako psychologicznych mechanizmów inteligencji edukacyjnej i matematycznej.

3) Zadania edukacyjne: kontynuacja kształcenia osobistego uczniów o zainteresowaniach poznawczych matematyką, odpowiedzialnością, poczuciem obowiązku, samodzielnością naukową, umiejętnością komunikowania się z grupą, nauczycielem, kolegami z klasy; autologiczna zdolność do konkurencyjnej działalności edukacyjnej i matematycznej, dążenie do jej wysokich i najwyższych wyników (motyw akmeiczny).

Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału; według kryterium wiodącej treści matematycznej - lekcja praktyczna; według kryterium rodzaju interakcji informacyjnej między uczniami a nauczycielem – lekcja współpracy.

Wyposażenie lekcji:

1. Literatura edukacyjna:

1) Kudryavtsev analizy matematycznej: Proc. dla studentów uczelni wyższych. W 3 tomach T. 3. - wyd. 2, poprawione. i dodatkowe - M.: Wyższe. szkoła, 1989. - 352 s. : chory.

2) Problemy i ćwiczenia Demidovicha z analizy matematycznej. – 9 wyd. - M .: Wydawnictwo „Nauka”, 1977.

2. Ilustracje.

Podczas zajęć.

1. Ogłoszenie tematu i głównego celu edukacyjnego lekcji; pobudzenie poczucia obowiązku, odpowiedzialności, zainteresowania poznawczego uczniów przygotowaniem do sesji.

2. Powtórzenie materiału na pytania.

a) Zdefiniuj funkcję.

Jednym z podstawowych pojęć matematycznych jest pojęcie funkcji. Pojęcie funkcji wiąże się z ustaleniem relacji między elementami dwóch zbiorów.

Niech dwa niepuste zbiory i zostaną podane. Dopasowanie f, które pasuje do każdego elementu z jednym i tylko jednym elementem, nazywa się funkcjonować i napisane y = f(x). Mówią też, że funkcja f wyświetlacze zestaw do ustawienia.

https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> nazywa się zestaw wartości funkcja f i jest oznaczona przez E(f).

b) Funkcje numeryczne. Wykres funkcji. Sposoby ustawiania funkcji.

Niech zostanie podana funkcja.

Jeżeli elementy zbiorów i są liczbami rzeczywistymi, to funkcja f jest wywoływana funkcja numeryczna . Zmienna x nazywa się argument lub zmienna niezależna, a y jest funkcjonować lub zmienna zależna(od x). Jeśli chodzi o same wielkości x i y, mówi się, że są one w zależność funkcjonalna.

Wykres funkcji y = f(x) jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny Oxy, dla każdego z których x jest wartością argumentu, a y jest odpowiednią wartością funkcji.

Aby zdefiniować funkcję y = f(x), musisz określić regułę, która pozwala, znając x, znaleźć odpowiednią wartość y.

Istnieją trzy najczęstsze sposoby definiowania funkcji: analityczne, tabelaryczne, graficzne.

Metoda analityczna: Funkcja jest określona jako co najmniej jedna formuła lub równanie.

Na przykład:

Jeżeli dziedzina funkcji y = f(x) nie jest określona, ​​to zakłada się, że pokrywa się ona ze zbiorem wszystkich wartości argumentu, dla którego odpowiednia formuła ma sens.

Metoda analityczna wyznaczania funkcji jest najdoskonalsza, gdyż towarzyszą jej metody analizy matematycznej, które pozwalają w pełni poznać funkcję y = f(x).

Graficzny sposób: Ustawia wykres funkcji.

Zaletą zadania graficznego jest jego widoczność, wadą jest jego niedokładność.

Sposób tabelaryczny: Funkcja jest określona przez tabelę serii wartości argumentów i odpowiadających im wartości funkcji. Na przykład znane tabele wartości funkcje trygonometryczne, tablice logarytmiczne.

c) Główne cechy funkcji.

1. Funkcję y = f(x) określoną na zbiorze D nazywamy nawet , jeśli warunki są spełnione i f(-x) = f(x); dziwne , jeśli warunki są spełnione i f(-x) = -f(x).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy, a funkcja nieparzysta jest symetryczna względem początku. Na przykład są nawet funkcje; a y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> to funkcje ogólne, tj. ani parzyste, ani nieparzyste .

2. Niech funkcja y = f(x) zostanie zdefiniowana na zbiorze D i niech . Jeśli dla dowolnych wartości argumentów nierówność implikuje nierówność: , wtedy funkcja nazywa się wzrastający na planie ; jeśli , wtedy funkcja nazywa się niezmniejszające się na https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src="> wtedy funkcja jest wywoływana. zanikający na ; - nie rosnący .

Funkcje rosnące, nierosnące, malejące i niezmniejszające w zestawie https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">Wartość D (x +T)D i równość f(x+T) = f(x) obowiązuje.

Aby wykreślić funkcję okresową okresu T, wystarczy wykreślić ją na dowolnym odcinku długości T i okresowo rozszerzać ją na całą dziedzinę definicji.

Zwracamy uwagę na główne właściwości funkcji okresowej.

1) Suma algebraiczna funkcji okresowych o tym samym okresie T jest funkcją okresową o okresie T.

2) Jeżeli funkcja f(x) ma okres T, to funkcja f(ax) ma okres T/a.

d) Funkcja odwrotna.

Niech funkcja y = f(x) zostanie podana z dziedziną definicji D i zbiorem wartości E..gif" width="48" height="22">, to funkcja x = z(y) z dziedziną definicji E i zbiorem wartości D Taką funkcję z(y) nazywamy odwrócić do funkcji f(x) i jest zapisany w postaci: . Mówi się, że funkcje y = f(x) i x = z(y) są wzajemnie odwrotne. Aby znaleźć funkcję x = z(y) odwrotną do funkcji y = f(x), wystarczy rozwiązać równanie f(x) = y względem x.

Przykłady:

1. Dla funkcji y = 2x, funkcją odwrotną jest funkcja x = ½ y;

2. Dla funkcji funkcja odwrotna jest funkcją .

Z definicji funkcji odwrotnej wynika, że ​​funkcja y = f(x) ma odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) definiuje zależność jeden do jednego między zbiorami D i E. Wynika z tego, że dowolna funkcja ściśle monotoniczna ma odwrotność . Co więcej, jeśli funkcja rośnie (maleje), to funkcja odwrotna również rośnie (maleje).

3. Nauka nowego materiału.

Skomplikowana funkcja.

Niech funkcja y = f(u) zostanie zdefiniowana na zbiorze D, a funkcja u = z(x) na zbiorze i dla odpowiadającej jej wartości . Wtedy zbiór ma funkcję u = f(z(x)), która nazywa się złożona funkcja od x (lub nałożenie podane funkcje, lub funkcja z funkcji ).

Zmienna u = z(x) nazywa się pośredni argument złożona funkcja.

Na przykład funkcja y = sin2x jest superpozycją dwóch funkcji y = sinu i u = 2x. Złożona funkcja może mieć wiele argumentów pośrednich.

4. Rozwiązanie kilku przykładów na tablicy.

5. Zakończenie lekcji.

1) wyniki teoretyczne i stosowane sesja praktyczna; zróżnicowana ocena poziomu doświadczenia psychicznego uczniów; poziom ich przyswojenia tematu, kompetencje, jakość wypowiedzi matematycznej ustnej i pisemnej; poziom przejawianej kreatywności; poziom niezależności i refleksji; poziom inicjatywy, zainteresowanie poznawcze pewnymi metodami myślenia matematycznego; poziom współpracy, konkurencyjność intelektualna, dążenie do wysoka wydajność zajęcia edukacyjne i matematyczne itp.;

2) ogłoszenie ocen uzasadnionych, punktów lekcyjnych.

Superpozycja funkcji

Superpozycja funkcji f1, …, fm jest funkcją f uzyskaną przez podstawienie tych funkcji w siebie i zmianę nazw zmiennych.

Niech będą dwa odwzorowania, a ponadto zbiór niepusty. Wtedy superpozycja lub złożenie funkcji jest funkcją zdefiniowaną przez równość dla dowolnego.

Dziedziną definicji superpozycji jest zbiór.

Funkcja nazywa się zewnętrzną, a wewnętrzną funkcją superpozycji.

Funkcje przedstawione jako złożenie „prostszych” nazywamy funkcjami złożonymi.

Przykładami zastosowania superpozycji są: rozwiązywanie układu równań metodą podstawienia; znajdowanie pochodnej funkcji; znalezienie wartości wyrażenia algebraicznego poprzez podstawienie do niego wartości danych zmiennych.

Funkcje rekurencyjne

Rekurencja to taki sposób definiowania funkcji, w którym wartości funkcji definiowanej dla dowolnych wartości argumentów wyrażane są w znany sposób poprzez wartości funkcji definiowanej dla mniejszych wartości argumentów.

Prymitywna funkcja rekurencyjna

Definicja pojęcia pierwotnej funkcji rekurencyjnej jest indukcyjna. Polega ona na określeniu klasy podstawowych podstawowych funkcji rekurencyjnych oraz dwóch operatorów (superpozycji i pierwotnej rekurencji), które pozwalają na budowanie nowych prymitywnych funkcji rekurencyjnych na podstawie już istniejących.

Podstawowe prymitywne funkcje rekurencyjne obejmują następujące trzy typy funkcji:

Zero funkcja-funkcja bez argumentów, zawsze wracam 0 .

Funkcja następstwa jednej zmiennej, która przypisuje dowolną liczbę naturalną do następującej bezpośrednio po niej liczby naturalnej.

Funkcje, gdzie, z n zmiennych, które przypisują dowolnemu uporządkowanemu zbiorowi liczb naturalnych liczbę z tego zbioru.

Operatory podstawienia i pierwotnej rekurencji są zdefiniowane w następujący sposób:

Operator superpozycji (czasami operator podstawienia). Niech będzie funkcją m zmiennych i będzie uporządkowanym zbiorem funkcji niezmiennych każda. Wtedy wynikiem superpozycji funkcji w funkcję jest funkcja zmiennych, która wiąże liczbę z dowolnym uporządkowanym zbiorem liczb naturalnych.

Pierwotny operator rekurencji. Niech będzie funkcją n zmiennych i będzie funkcją zmiennych. Następnie wynikiem zastosowania pierwotnego operatora rekurencji do pary funkcji jest funkcja zmiennej typu;

W tej definicji zmienna może być rozumiana jako licznik iteracji, -- as oryginalna funkcja na początku procesu iteracyjnego, wydając pewną sekwencję funkcji zmiennych, zaczynając od i -- jako operator, który przyjmuje jako zmienne wejściowe, numer kroku iteracji, funkcję w tym kroku iteracji i zwracając funkcję w następny krok iteracji.

Zbiór pierwotnych funkcji rekurencyjnych to minimalny zbiór zawierający wszystkie podstawowe funkcje i zamknięte pod określonymi operatorami podstawienia i pierwotnej rekurencji.

W kategoriach programowania imperatywnego -- pierwotne funkcje rekurencyjne odpowiadają blokom programu, które używają tylko działania arytmetyczne, jak również operator warunkowy oraz operator pętli arytmetycznej (operator pętli, w którym liczba iteracji jest znana na początku pętli). Jeśli programista zacznie używać operatora pętli while, w którym liczba iteracji nie jest z góry znana i w zasadzie może być nieskończona, przechodzi do klasy funkcji częściowo rekurencyjnych.

Zwróćmy uwagę na szereg dobrze znanych funkcji arytmetycznych, które są prymitywnie rekurencyjne.

Funkcję dodawania dwóch liczb naturalnych () można uznać za pierwotną funkcję rekurencyjną dwóch zmiennych, otrzymaną przez zastosowanie do tych funkcji operatora rekurencji pierwotnej, z których drugą uzyskuje się przez podstawienie funkcji main do funkcji main:

Mnożenie dwóch liczb naturalnych można uznać za pierwotną funkcję rekurencyjną dwóch zmiennych, otrzymaną w wyniku zastosowania do funkcji operatora rekurencji pierwotnej, a drugą z nich otrzymuje się przez podstawienie funkcji głównych i do funkcji dodawania:

Symetryczną różnicę (wartość bezwzględną różnicy) dwóch liczb naturalnych () można uznać za pierwotną funkcję rekurencyjną dwóch zmiennych, otrzymaną przez zastosowanie następujących podstawień i pierwotnych rekurencji: