В частта по въпроса Кои са двете форми на записване на числата? дадено от автора просфоранай-добрият отговор е В позиционните бройни системи количественият еквивалент (стойност) на цифрата зависи от нейното място (позиция) в записа на числото.
Позицията на цифрата в числото се нарича цифра.
Цифрата на числото се увеличава от дясно на ляво, от по-ниски към по-високи цифри.
Основата на позиционната бройна система е цяло число, което е равно на броя на цифрите, използвани за представяне на числата в тази бройна система.
Базата показва колко пъти се променя количествената стойност на дадена цифра, когато тя се премести към по-ниска или по-висока цифра.
ПОЗИЦИОННИ БРОЙНИ СИСТЕМИ С ПРОИЗВОДНА ОСНОВА
Възможно е да се използват много позиционни бройни системи, чиято основа е равна или по-голяма от 2.
В бройни системи с основа q (q-арична бройна система) числата в разширен вид се записват като сбор от редица степени на основа q с коефициенти, които са числата 0, 1, ..., q-1.
или
Aq е число в q-ичната бройна система,
q е основата на бройната система,
Ai - цифри, принадлежащи към азбуката на тази бройна система,
n е броят на целите цифри на числото,
m е броят дробни цифри на числото.
Коефициентите ai са цифрите на числото, записано в q-ичната бройна система.
Свито числово обозначение:
Използваме сгънатата форма за писане на числа в ежедневието,
тя се нарича естествена или цифрова.
За записване на дроби се използват цифри с отрицателни основни степени.
ДЕСЕТНА БРОЙНА СИСТЕМА
Основа: q = 10.
Азбука: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Свито числово обозначение:
Разширена форма на запис на число:
Коефициенти ai - цифри на десетично число.
Например числото 123.4510 в разширена форма ще бъде написано по следния начин:
Умножаването или разделянето на десетично число по 10 (стойността на основата) премества запетаята, която разделя цялата част от дробната една цифра, надясно или наляво. Например:
123,4510 10 = 1234,510;
123,4510: 10 = 12,34510.

Нотация

Нотация - това е начин за представяне на числа и съответните правила за работа с числа. Различните бройни системи, които са съществували преди и се използват днес, могат да бъдат разделени на непозиционнии позиционен. Знаци, използвани при писане на числа, са наречени числа.

AT непозиционни бройни системи стойността на цифрата не зависи от нейната позиция в числото.

Пример за непозиционна бройна система е римската система (римски цифри). В римската система латинските букви се използват като числа:

Пример 1Числото CCXXXII се състои от двеста, три десетици и две единици и е равно на двеста тридесет и две.

Римските цифри се изписват отляво надясно в низходящ ред. В този случай техните стойности се добавят. Ако отляво е написано по-малко число, а отдясно - голямо, тогава техните стойности се изваждат.

Пример 2

VI = 5 + 1 = 6; IV \u003d 5 - 1 \u003d 4.

Пример 3

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

AT позиционни бройни системи стойността, обозначена с цифра в запис на число, зависи от нейната позиция. Броят на използваните цифри се нарича основа на позиционната бройна система.

Бройната система, използвана в съвременната математика, е позиционна десетична система. Основата му е десет, защото Всякакви числа се записват с десет цифри:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционният характер на тази система е лесен за разбиране чрез примера на всяко многоцифрено число. Например в числото 333 първата тройка означава триста, втората - три десетици, третата - три единици.

Записване на числата в позиционна система с основа нтрябва да имам азбукаот нцифри. Обикновено за това н < 10 используют нпървите арабски цифри и н> 10 букви се добавят към десет арабски цифри. Ето примери за азбуки от няколко системи:

Ако се изисква да се посочи базата на системата, към която принадлежи номерът, тогава към този номер се присвоява долен индекс. Например:

1011012, 36718, 3B8F16.

В основната бройна система р (р-арна бройна система) единиците от цифри са последователни степени на число р. рединици от всяка категория формират единицата от следващата категория. За да напишете номер р-изисква се номерна система рразлични символи (цифри), представляващи числата 0, 1, ..., р– 1. Писане на число рв р-арната бройна система има формата 10.

Разгъната форма за запис на число

Позволявам Aq- номер в основната система р, ай -цифри от дадена бройна система, присъстващи в записа на число А, н+ 1 - броят на цифрите на цялата част от числото, м- броят на цифрите на дробната част на числото:

Разширена форма на число НОсе нарича запис във формата:

Например за десетично число:

Следните примери показват разширената форма на шестнадесетични и двоични числа:

Във всяка бройна система нейната основа се записва като 10.

Ако всички членове в разширен вид на недесетично число се представят в десетичната система и полученият израз се изчисли по правилата на десетичната аритметика, тогава ще се получи число в десетичната система, равно на даденото. Съгласно този принцип се извършва преобразуване от недесетична система в десетична. Например преобразуването в десетичната система на числата, записани по-горе, се извършва по следния начин:

Позволявам Aq- номер в основната система р, ай -цифри от дадена бройна система, присъстващи в записа на число А, н+ 1 - броят на цифрите на цялата част от числото, м- броят на цифрите на дробната част на числото:

Разширена форма на число НОсе нарича запис във формата:

Например за десетично число:

Следните примери показват разширената форма на шестнадесетични и двоични числа:

Във всяка бройна система нейната основа се записва като 10.

Ако всички членове в разширен вид на недесетично число се представят в десетичната система и полученият израз се изчисли по правилата на десетичната аритметика, тогава ще се получи число в десетичната система, равно на даденото. Съгласно този принцип се извършва преобразуване от недесетична система в десетична. Например преобразуването в десетичната система на числата, записани по-горе, се извършва по следния начин:

Превод десетични числакъм други бройни системи

Превод на цели числа

цяло десетично число хтрябва да се прехвърли на система с база р: х = (ан а n-1 ... а 1 а 0) р. Трябва да намерите значимите цифри на числото: .Нека представим числото в разширен вид и извършим идентичната трансформация:

От тук става ясно, че а 0 е остатъкът от делението на числото хна брой р. Изразът в скобите е цяло число на това деление. Нека го обозначим като х 1. Извършвайки подобни трансформации, получаваме:

Следователно, а 1 е остатъкът от делението х 1 на р. Продължавайки делението с остатък, ще получим поредица от цифри на желаното число. Номер анв тази верига от подразделения ще бъде последният частен, по-малък р.

Нека формулираме полученото правило: за да преобразувате цяло десетично число в бройна система с различна основа, трябва:

1) изразете основата на новата бройна система в десетичната бройна система и извършете всички последващи действия съгласно правилата на десетичната аритметика;

2) последователно разделяме даденото число и получените непълни частни на основата на новата бройна система, докато получим непълно частно, по-малко от делителя;

3) получените остатъци, които са цифрите на числото в нова системасмятане, приведете го в съответствие с азбуката на новата бройна система;

4) съставете число в новата бройна система, като го запишете, като започнете от последното лично число.

Пример 1Преобразувайте числото 37 10 в двоична система.

За да обозначим числата в нотацията на число, използваме символика: а 5 а 4 а 3 а 2 а 1 а 0

Следователно: 37 10 = l00l0l 2

Пример 2Преобразувайте десетично число 315 в осмична и шестнадесетична система:

От тук следва: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Припомнете си, че 11 10 = B 16 .

десетична х < 1 требуется перевести в систему с основанием р: х = (0, а –1 а –2 … а–m+1 а–m) р. Трябва да намерите значимите цифри на числото: а –1 ,а –2 , …, а–m Нека представим числото в разширен вид и го умножим по р:

От тук става ясно, че а-1 е цялата част от работата хна брой р. Означаваме с х 1дробна частпродукти и го умножете по р:

Следователно, а-2 е цялата част от продукта х 1 на брой р. Продължавайки умножението, ще получим поредица от цифри. Сега нека формулираме правилото: за да преобразувате десетична дроб в бройна система с различна основа, трябва:

1) последователно умножете даденото число и получените дробни части от продуктите по основата на новата система, докато дробната част от продукта стане равна на нула или се достигне необходимата точност на представяне на числото в новата бройна система;

2) получените цели числа от продуктите, които са цифри на число в новата бройна система, ги привеждат в съответствие с азбуката на новата бройна система;

3) съставете дробната част на числото в новата бройна система, като започнете с цялата част на първия продукт.

Пример 3Преобразувайте десетични 0,1875 в двоични, осмични и шестнадесетични.

Тук цялата част от числата е в лявата колона, а дробната част е в дясната колона.

Следователно: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Превод на смесени числа, съдържащ цели и дробни части, се извършва на два етапа. Цялата и дробната част на оригиналното число се превеждат отделно според съответните алгоритми. При окончателния запис на число в новата бройна система целочислената част се отделя от дробната запетая (точка).

Темата „Бройни системи” е пряко свързана с математическата теория на числата. Въпреки това, в училищния курс по математика, като правило, не се изучава. Необходимостта от изучаване на тази тема в курс по компютърни науки е свързана с факта, че числата в компютърната памет са представени в двоична бройна система, а шестнадесетичните или осмичните системи се използват за външно представяне на съдържанието на паметта, адресите на паметта. Това е една от традиционните теми на курс по компютърни науки или програмиране. Тъй като е свързана с математиката, тази тема допринася и за фундаменталното математическо образование на учениците.

За курса по компютърни науки основният интерес е запознаването с двоичната бройна система. Използването на двоичната бройна система в компютъра може да се разглежда в два аспекта: 1) двоично номериране, 2) двоична аритметика, т.е. извършване на аритметични изчисления върху двоични числа.

Двоично номериране

С двоичното номериране учениците се срещат в темата „Представяне на текст в компютърна памет". Когато говорим за таблицата за кодиране, учителят трябва да информира учениците, че вътрешната двоичен кодсимволът е негов сериен номерв двоичната система. Например номерът на буквата S в ASCII таблицата е 83. Осемцифреният двоичен код за буквата S е равно на стойносттатова число в двоична система: 01010011.

Двоично изчисление

Според принципа на Джон фон Нойман компютърът извършва изчисления в двоичната система. В рамките на основния курс е достатъчно да се ограничим до разглеждане на изчисления с двоични числа. За да извършвате изчисления с многоцифрени числа, трябва да знаете правилата за събиране и правилата за умножение на едноцифрени числа. Ето правилата:

Принципът на пермутация на събиране и умножение работи във всички бройни системи. Техниките за извършване на изчисления с многоцифрени числа в двоичната система са подобни на десетичните. С други думи, процедурите за събиране, изваждане и умножение по „колона“ и деление по „ъгъл“ в двоичната система се извършват по същия начин, както в десетичната.

Обмислете правилата за изваждане и деление двоични числа. Операцията на изваждане е обратна на събирането. От горната таблица за събиране следват правилата за изваждане:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Ето пример за многоцифрено изваждане:

Полученият резултат може да се провери чрез събиране на разликата с изваждаемото. Трябва да е намаляващо число.

Делението е обратна операция на умножението.
Във всяка бройна система не можете да разделите на 0. Резултатът от деленето на 1 е равен на дивидента. Разделянето на двоично число на 102 премества десетичната точка с едно място наляво, точно както делението на десет в десетичната запетая. Например:

Деленето на 100 измества десетичната запетая с 2 позиции наляво и т.н. В основния курс не можете да вземете предвид сложни примериделение на многозначни двоични числа. Въпреки че способните ученици могат да се справят с тях, след като са разбрали общите принципи.

Представянето на информацията, съхранявана в паметта на компютъра, в нейната истинска двоична форма е много тромаво поради големия брой цифри. Това се отнася до записването на такава информация на хартия или показването й на екрана. За тези цели е обичайно да се използват смесени двоично-осмични или двоично-шестнадесетични системи.

Съществува проста връзка между двоичното и шестнадесетичното представяне на число. При превод на число от една система в друга една шестнадесетична цифра съответства на четирицифрен двоичен код. Това съответствие е отразено в двоично-шестнадесетичната таблица:

Двоична шестнадесетична таблица

Такава връзка се основава на факта, че 16 = 2 4 и броят на различните четирицифрени комбинации от цифрите 0 и 1 е 16: от 0000 до 1111. Следователно преобразуването на числата от шестнадесетични в двоични и обратно се извършва чрез формално преобразуване според двоично-шестнадесетичната таблица.

Ето пример за преобразуване на 32-битов двоичен код в шестнадесетична система:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Ако е дадено шестнадесетично представяне на вътрешната информация, тогава е лесно да се преведе в двоичен код. Предимството на шестнадесетичното представяне е, че е 4 пъти по-кратко от двоичното. Желателно е учениците да научат наизуст двоично-шестнадесетичната таблица. Тогава наистина за тях шестнадесетичното представяне ще стане еквивалентно на двоично.

В двоичната осмична система всяка осмична цифра съответства на триада от двоични цифри. Тази система ви позволява да намалите двоичния код 3 пъти.

| Планиране на урока и материали за урока | 8 класа | Планиране на урока за учебната година (според учебника на Н. Д. Угринович) | Разгънати и свити форми за записване на числа. Превод от произволна в десетична бройна система

Урок 19
Разгънати и свити форми за записване на числа. Превод от произволна в десетична бройна система

§ 4.1. Кодиране на числова информация

4.1.2. Аритметични операции в позиционни бройни системи

Аритметичните операции във всички позиционни бройни системи се извършват по едни и същи добре известни правила.

Допълнение.Помислете за събирането на числа в двоичната бройна система. Базира се на таблицата за добавяне на едноцифрени двоични числа:

0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10.

Важно е да се обърне внимание на факта, че при добавяне на две единици битът препълва и се получава прехвърляне към най-високия бит. Препълване възниква, когато стойността на цифра в нея стане равна или по-голяма от основата на бройната система. За двоичната бройна система тази стойност е две.

Добавянето на многобитови двоични числа се извършва в съответствие с горната таблица за добавяне, като се вземат предвид възможните прехвърляния от по-ниските цифри към по-високите. Като пример, нека добавим двоичните числа 110 2 и 11 2 в колона:

Нека проверим правилността на изчисленията чрез добавяне в десетичната бройна система. Нека преобразуваме двоичните числа в десетичната бройна система и след това да ги добавим:

Сега превеждаме резултата от двоично събиране в десетично число:

Сравнете резултатите - добавянето е правилно.

Изваждане.Помислете за изваждането на двоични числа. Базира се на таблица за изваждане на едноцифрени двоични числа.

При изваждане от по-малко число (0) на по-голямо (1) се заема от най-високия ред. В таблицата заемът е обозначен с 1 с ред:

Изваждането на многоцифрени двоични числа се извършва в съответствие с горната таблица за изваждане, като се вземат предвид възможните заеми от цифри от висок ред. Като пример, нека извадим двоичните числа 110 2 и 11 2:

Умножение.Умножението се основава на таблицата за умножение на едноцифрени двоични числа:

Умножението на многоцифрени двоични числа се извършва в съответствие с горната таблица за умножение с обичайния моделизползвани в десетичната бройна система, с последователно умножение на множителя по следващата цифра на множителя. Като пример, нека умножим двоичните числа 110 2 и 11 2:

дивизия.Операцията деление се извършва по алгоритъм, подобен на алгоритъма на операция деление в десетичната бройна система. Като пример, нека разделим двоичното число 110 2 на 11 2:

За аритметични операциивърху числа, изразени в различни системисмятане, първо трябва да ги преведете в една и съща система.

Задачи за самостоятелно изпълнение

4.6. Въпрос с подробен отговор.Извършва събиране, изваждане, умножение и деление на двоични числа 1010 2 и 10 2

Основата на позиционната бройна система е цяло число q, което се повдига на степен.

Основата на позиционната бройна система е поредица от числа, всяко от които определя количествения еквивалент (тегло) на даден символ в зависимост от мястото му в цифровия код.

Десетична основа: …10 н, 10н –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – м ,…

Основа на произволна позиционна бройна система: ... q n, q n –1 , …, р 1 , р 0 , р –1 , …, р – м, …

Основата във всяка система е изобразена като 10, но има различна количествена стойност. Той показва колко пъти се променя количествената стойност на една цифра, когато тя се премести в съседна позиция. Възможни са много позиционни системи, тъй като всяко число, не по-малко от 2, може да бъде взето като основа на бройната система.

Името на бройната система съответства на нейната основа (десетична, двоична, петична и др.).

В основната бройна система р (р-арна бройна система) единиците от цифри са последователни степени на число q,с други думи, рединици от всяка категория формират единицата от следващата категория.

За записване на числа р-изисква се номерна система рразлични символи (цифри), представляващи числата 0, 1, ..., р – 1.

Следователно основата на позиционната бройна система е равна на броя на знаците (символите) в нейната азбука. Писане на число рв р-арната бройна система има формата 10.

Пример 1Осмична бройна система.

Основа: q = 8.

Азбука: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Числа: например 45023.152 8 ; 751 001 8 .

Пример 2Петкратна бройна система .

Основа: р = 5.

Азбука: 0, 1, 2, 3 и 4.

Числа: например 20304 5 ; 324,03 5 .

Пример 3Шестнадесетична бройна система.

Основа: q = 16.

Азбука: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Тук само десет цифри от шестнадесет имат общоприетото обозначение 0-9. За изписване на останалите знаци от азбуката (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обикновено се използват първите пет букви от латинската азбука.

Числа: например B5C3,1A2 16; 355.0FA01 8 .

В позиционна бройна система всяка реално числоможе да се представи в следната форма:

A q = ±( a n–1× q n –1 + a n–2× q n –2 +…+ а 0 × р 0 + а–1× р –1 + а–2× р –2 +…+ а –м × q–m), (1) или ±.

Тук НО -самото число; q-радикс;
a i- цифри, принадлежащи към азбуката на дадената бройна система; П -броя на целите цифри на числото; T -броя на дробните цифри на числото.

Развиването на число по формула (1) се нарича разширена нотация . В противен случай тази форма на нотация се нарича полиномили мощност.

Пример 1Десетично число НО 10 = 5867,91 съгласно формула (1) се представя, както следва:

А 10 \u003d 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 -1 + 1 × 10 -2.

Пример 2Формула (1) за осмичната бройна система има формата:

А 8 = ±( a n–1×8 н –1 + a n-2 × 8 н –2 +…+ а 0 × 80+ а–1 ×8 –1 + а–2 ×8 –2 +…+ а-м×8 - м),

където a i- числа 0–7.

Осмичното число A 8 \u003d 7064.3 във формата (1) ще бъде написано, както следва:

А 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 -1.

Пример 3петкратно число НО 5 \u003d 2430.21 съгласно формула (1) ще бъде записано, както следва:

НО 5 = 2 x 5 3 + 4 x 5 2 + 3 x 5" + 0 x 5° + 2 x 5 -1 + 1 x 5 -2.

Чрез изчисляване на този израз можете да получите десетичния еквивалент на указаното петично число: 365,44 10 .

Пример 4В шестнадесетичен запис, запис 3 AF 16 означава:

3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.