A Mi a kétféle számírási forma? a szerző adta Prosphora a legjobb válasz az Pozíciós számrendszerekben egy számjegy mennyiségi egyenértéke (értéke) a szám jelölésében elfoglalt helyétől (pozíciójától) függ.
Egy számjegy pozícióját egy számban számjegynek nevezzük.
Egy szám számjegye jobbról balra növekszik, alacsonyról magasabbra.
A helyzetszámrendszer alapja egy egész szám, amely egyenlő az adott számrendszerben a számok ábrázolására használt számjegyek számával.
Az alap megmutatja, hogy egy számjegy mennyiségi értéke hányszor változik meg, amikor a legkisebb vagy a legjelentősebb számjegyre kerül.
POZÍCIÓS NUMERIKUS RENDSZEREK ÖKSZÉNYES ALAPJAL
Számos olyan helyzetszámrendszer használható, amelyek alapja 2 vagy annál nagyobb.
A q bázisú számrendszerekben (q-ary számrendszer) a kiterjesztett formájú számokat a q bázis hatványsorozatának összegeként írjuk fel együtthatókkal, amelyek a 0, 1, ..., q-1 számok.
vagy
Aq – szám a q-es számrendszerben,
q – a számrendszer alapja,
Ai – adott számrendszer ábécéjéhez tartozó számok,
n – a szám egész számjegyeinek száma,
m – a szám törtjegyeinek száma.
Az ai együtthatók a q-áris számrendszerben felírt szám számjegyei.
Egy szám írásának összecsukott formája:
A mindennapi életben a számírás összecsukott formáját használjuk,
természetesnek vagy digitálisnak nevezik.
Törtek írásához az alap hatványainak negatív értékével rendelkező számjegyeket használjuk.
DECIMÁLIS SZÁM RENDSZER
Alap: q = 10.
Ábécé: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Egy szám írásának összecsukott formája:
A számírás kiterjesztett formája:
Az ai együtthatók decimális számjegyek.
Például a 123.4510 szám kiterjesztett formában a következőképpen írható:
Egy tizedes szám 10-zel való szorzása vagy elosztása (az alapérték) a tizedesvesszőt mozgatja, elválasztva az egész részt a tört résztől, egy hellyel jobbra vagy balra. Például:
123,4510 10 = 1234,510;
123,4510: 10 = 12,34510.

Jelölés

Jelölés - ez a számok ábrázolásának módja és a számokkal való művelet megfelelő szabályai. A régebben létező és ma használatos számrendszerek feloszthatók nem pozíciósÉs helyzeti. Számok írásakor használt jelek, hívják számokban.

BAN BEN nem pozíciós számrendszerek egy számjegy jelentése nem függ a számban elfoglalt helyétől.

A nem pozíciós számrendszerre példa a római rendszer (római számok). A római rendszerben a latin betűket számként használják:

1. példa A CCXXXII szám kétszáz, három tízes és két egységből áll, és egyenlő kétszázharminckettővel.

A római számoknál a számokat balról jobbra írjuk, csökkenő sorrendben. Ebben az esetben értékeik összeadódnak. Ha egy kisebb szám van írva a bal oldalon, és egy nagyobb a jobb oldalon, akkor ezek értékét kivonjuk.

2. példa

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

3. példa

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

BAN BEN helyzeti számrendszerek a számjeggyel jelölt érték a számjelölésben a helyétől függ. A felhasznált számjegyek számát a helyzetszámrendszer alapjának nevezzük.

A modern matematikában használt számrendszer az pozíciós decimális rendszer. Az alapja tíz, mert Bármely szám tíz számjegyből van írva:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ennek a rendszernek a helyzeti természete könnyen megérthető bármely többjegyű szám példáján. Például a 333-as számban az első három három százat, a második három tízet, a harmadik három egységet jelent.

Számokat radixos helyzetrendszerbe írni n Kell ábécé tól től n számok Általában erre n < 10 используют n az első arab számok, és mikor n> 10 betűt adnak hozzá tíz arab számhoz. Íme néhány példa több rendszer ábécéjére:

Ha meg kell adnia annak a rendszernek az alapját, amelyhez egy szám tartozik, akkor ehhez a számhoz egy alsó indexet rendelnek. Például:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

Számrendszerben bázissal q (q-rendszerű számrendszer) a számjegyek egységei egy szám egymást követő hatványai q. q bármely kategória egységei a következő kategória egységét alkotják. Szám beírásához q-árszámrendszer szükséges q különböző jelek (számjegyek), amelyek a 0, 1, ... számokat jelölik, q– 1. Szám írása q V q A számrendszer 10-es alakú.

A számírás kiterjesztett formája

Hadd Aq- szám az alaprendszerben q, ai - egy adott számrendszer számjegyei jelen vannak a számrekordban A, n+ 1 - a szám egész számjegyeinek száma, m- a szám tört részének számjegyeinek száma:

A szám kiterjesztett formája A rekordnak nevezzük a következő formában:

Például egy decimális számhoz:

A következő példák a hexadecimális és bináris számok kiterjesztett formáját mutatják be:

Bármely számrendszerben az alapja 10.

Ha egy nem decimális szám kiterjesztett alakjában lévő összes tagot a decimális rendszerben ábrázoljuk, és a kapott kifejezést a decimális aritmetika szabályai szerint számítjuk ki, akkor a tizedes rendszerben az adott számmal megegyező számot kapunk. Ezt az elvet használják a nem tizedes rendszerről a decimális rendszerre történő átalakításra. Például a fent írt számok decimális rendszerré konvertálása a következőképpen történik:

Hadd Aq- szám az alaprendszerben q, ai - egy adott számrendszer számjegyei jelen vannak a számrekordban A, n+ 1 - a szám egész számjegyeinek száma, m- a szám tört részének számjegyeinek száma:

A szám kiterjesztett formája A rekordnak nevezzük a következő formában:

Például egy decimális számhoz:

A következő példák a hexadecimális és bináris számok kiterjesztett formáját mutatják be:

Bármely számrendszerben az alapja 10.

Ha egy nem decimális szám kiterjesztett alakjában lévő összes tagot a decimális rendszerben ábrázoljuk, és a kapott kifejezést a decimális aritmetika szabályai szerint számítjuk ki, akkor a tizedes rendszerben az adott számmal megegyező számot kapunk. Ezt az elvet használják a nem tizedes rendszerről a decimális rendszerre történő átalakításra. Például a fent írt számok decimális rendszerré konvertálása a következőképpen történik:

Fordítás decimális számok más számrendszerekhez

Egész szám konverzió

Egész decimális szám x bázissal rendelkező rendszerré kell alakítani q: x = (a n a n-1... a 1 a 0) q. Meg kell találnia a szám jelentős számjegyeit: Mutassuk be a számot kiterjesztett formában, és hajtsuk végre az azonos transzformációt:

Ebből egyértelmű, hogy a 0 a maradék egy szám osztásakor x számonként q. A zárójelben lévő kifejezés ennek az osztásnak az egész hányadosa. Jelöljük azzal x 1. Hasonló átalakításokat végrehajtva a következőt kapjuk:

Ennélfogva, a 1 az osztás maradéka x 1 per q. Folytatva az osztást a maradékkal, megkapjuk a kívánt szám számjegyeinek sorozatát. Szám an ebben a felosztási láncban az utolsó hányados lesz, a kisebb q.

Fogalmazzuk meg a kapott szabályt: ahhoz, hogy egy egész decimális számot más bázisú számrendszerré alakítson át, szüksége van:

1) kifejezni az új számrendszer alapját a tizedes számrendszerben, és minden további műveletet a tizedes aritmetika szabályai szerint végrehajtani;

2) a megadott számot és a kapott hiányos hányadosokat egymás után osszuk el az új számrendszer bázisával, amíg az osztónál kisebb hiányos hányadost nem kapunk;

3) az így kapott egyenlegek, amelyek a benne lévő szám számjegyei új rendszer számokat, hozza összhangba az új számrendszer ábécéjével;

4) állítson össze egy számot az új számrendszerben, az utolsó hányadostól kezdve.

1. példa Alakítsa át a 37 10 számot binárisra.

A számjegyek jelölésére szimbolikát használunk: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0

Tehát: 37 10 = l00l0l 2

2. példa Alakítsa át a 315-ös decimális számot oktális és hexadecimális rendszerré:

Ebből következik: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Emlékezzünk vissza, hogy 11 10 = B 16.

Tizedes tört x < 1 требуется перевести в систему с основанием q: x = (0, a –1 a –2 … a–m+1 a–m) q. Meg kell találni a szám jelentős számjegyeit: a –1 ,a –2 , …, a–m . Mutassa be a számot kiterjesztett formában, és szorozza meg vele q:

Ebből egyértelmű, hogy a–1 a műnek egy egész része van x számonként q. Jelöljük azzal x 1törtrész terméket és szorozzuk meg vele q:

Ennélfogva, a–2 a munka egész része x számonként 1 q. A szorzást folytatva számsort kapunk. Most fogalmazzunk meg egy szabályt: ahhoz, hogy egy tizedes törtet más bázisú számrendszerré alakítson át, szüksége van:

1) az adott számot és a kapott törtrészeket egymás után megszorozza az új számrendszer alapjával mindaddig, amíg a szorzat tört része nulla nem lesz, vagy el nem éri a számnak az új számrendszerben való ábrázolásához szükséges pontosságot;

2) hozza összhangba a művek kapott egész részeit, amelyek az új számrendszerben a számjegyei, az új számrendszer ábécéjéhez;

3) állítsa össze a szám tört részét az új számrendszerben, az első szorzat egész részéből kiindulva.

3. példa A 0,1875 tizedes tört átalakítása bináris, oktális és hexadecimális rendszerré.

Itt a bal oszlop a számok egész részét, a jobb oldali pedig a tört részt tartalmazza.

Tehát: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Vegyes számok konvertálása Az egész és tört részeket tartalmazó szakasz két szakaszban történik. Az eredeti szám egész és tört részeit megfelelő algoritmusok segítségével külön fordítjuk le. Egy szám végleges rögzítésekor az új számrendszerben az egész részt vesszővel (pont) választjuk el a tört résztől.

A „Számrendszerek” témakör közvetlenül kapcsolódik a matematikai számelmélethez. Általában azonban nem tanulják az iskolai matematika kurzusokon. A téma számítástechnikai kurzusban való tanulmányozásának szükségessége összefügg azzal a ténnyel, hogy a számítógép memóriájában lévő számokat kettes számrendszerben ábrázolják, és hexadecimális vagy oktális rendszereket használnak a memória tartalmának és a memóriacímek külső ábrázolására. Ez a számítástechnikai vagy programozási kurzusok egyik hagyományos témája. A matematika mellett ez a téma is hozzájárul az iskolások alapvető matematikai neveléséhez.

Egy számítástechnikai kurzus esetében a fő érdeklődés a kettes számrendszer ismerete. A bináris számrendszer számítógépben való felhasználása két szempontból tekinthető: 1) bináris számozás, 2) bináris aritmetika, i. számtani számítások elvégzése kettes számokon.

Bináris számozás

A tanulók bináris számozással találkoznak a „Szöveg ábrázolása in számítógép memória" Amikor a kódoló táblázatról beszélünk, a tanárnak el kell mondania a tanulóknak, hogy a belső bináris kód szimbólum az övé sorozatszám kettes számrendszerben. Például az S betű száma az ASCII-táblázatban 83. Az S betű nyolc bites bináris kódja egyenlő az értékkel ez a szám a kettes számrendszerben: 01010011.

Bináris számítások

Neumann János elve szerint a számítógép kettes számrendszerben végez számításokat. Az alaptanfolyam keretein belül elég a bináris egész számokkal végzett számítások figyelembevételére szorítkoznunk. A többjegyű számokkal történő számítások elvégzéséhez ismernie kell az egyjegyű számok összeadási és szorzási szabályait. Ezek a szabályok:

Az összeadás és szorzás kommutálhatóságának elve minden számrendszerben működik. A bináris rendszerben a többjegyű számokkal végzett számítások technikái hasonlóak a decimális rendszerhez. Más szóval, a bináris rendszerben az összeadás, kivonás és szorzás „oszloppal”, illetve „sarokkal” való osztás műveletei ugyanúgy történnek, mint a decimális rendszerben.

Nézzük meg a bináris számok kivonásának és osztásának szabályait. A kivonás művelete az összeadás inverze. A fenti összeadási táblázatból a kivonási szabályok a következők:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Íme egy példa a többjegyű számok kivonására:

A kapott eredményt úgy ellenőrizhetjük, hogy a különbséget összeadjuk a részfejjellel. Az eredménynek csökkenő számnak kell lennie.

Az osztás a szorzás fordított művelete.
Semmilyen számrendszerben nem lehet osztani 0-val. Az 1-gyel való osztás eredménye megegyezik az osztalékkal. Ha egy bináris számot osztunk 10 2-vel, a tizedesjegy egy hellyel balra kerül, hasonlóan a tizedesjegy tízzel való osztásához. Például:

A 100-zal való osztás a tizedesvesszőt 2 hellyel balra tolja stb. BAN BEN alaptanfolyam nem jöhet számításba összetett példák többjegyű bináris számok felosztása. Bár a tehetséges tanulók képesek megbirkózni velük, megértve az általános elveket.

A számítógép memóriájában tárolt információk valódi bináris formában való megjelenítése a nagy számjegyek miatt meglehetősen körülményes. Ez az ilyen információk papírra történő rögzítésére vagy a képernyőn való megjelenítésére vonatkozik. Erre a célra vegyes bináris-oktális vagy bináris-hexadecimális rendszert szokás használni.

Egyszerű kapcsolat van egy szám bináris és hexadecimális ábrázolása között. Amikor egy számot egyik rendszerből a másikba konvertálunk, egy hexadecimális számjegy egy négyjegyű bináris kódnak felel meg. Ezt a megfelelést tükrözi a bináris-hexadecimális táblázat:

Bináris hexadecimális táblázat

Ez az összefüggés azon a tényen alapul, hogy 16 = 2 4, és a 0 és 1 számok különböző négyjegyű kombinációinak száma 16: 0000-től 1111-ig. a számok hexadecimálisról binárisra és fordítva történő átalakítása formális konverzióval történik a bináris-hexadecimális táblázat segítségével.

Íme egy példa a 32 bites binárisok hexadecimálissá konvertálására:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Ha a belső információ hexadecimális reprezentációját adjuk meg, akkor azt könnyű bináris kóddá alakítani. A hexadecimális ábrázolás előnye, hogy 4-szer rövidebb, mint a bináris. A tanulóknak célszerű a bináris-hexadecimális táblázatot megjegyezni. Akkor valóban számukra a hexadecimális ábrázolás ekvivalens lesz a binárissal.

A bináris oktális rendszerben minden oktális számjegy bináris számjegyek hármasának felel meg. Ez a rendszer lehetővé teszi a bináris kód 3-szoros csökkentését.

| Óratervezés és tananyagok | 8. osztály | Órák tervezése a tanévre (N.D. Ugrinovich tankönyve szerint) | A számírás kiterjesztett és összecsukott formái. Konvertálás tetszőleges számrendszerből decimális számrendszerbe

19. lecke
A számírás kiterjesztett és összecsukott formái. Konvertálás tetszőleges számrendszerből decimális számrendszerbe

§ 4.1. Numerikus információk kódolása

4.1.2. Aritmetikai műveletek helyszámrendszerekben

Az aritmetikai műveletek minden helyzeti számrendszerben ugyanazok a szabályok szerint történnek, amelyeket Ön jól ismer.

Kiegészítés. Nézzük meg a számok összeadását a kettes számrendszerben. Az egyjegyű bináris számok összeadására szolgáló táblázaton alapul:

0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10.

Fontos figyelni arra, hogy két egyes összeadásakor a számjegy túlcsordul és a legjelentősebb számjegyre kerül át. Számjegytúlcsordulás akkor következik be, amikor egy számjegy értéke egyenlő vagy nagyobb lesz, mint a számrendszer alapja. A kettes számrendszerben ez az érték kettő.

A többbites bináris számok összeadása a fenti összeadási táblázat szerint történik, figyelembe véve az alacsony rendű számjegyekről a magasabb rendű számjegyekre történő lehetséges átviteleket. Példaként adjuk hozzá a 110 2 és 11 2 bináris számokat egy oszlopba:

Ellenőrizzük a számítások helyességét a decimális számrendszer összeadásával. Alakítsuk át a bináris számokat decimális számrendszerré, majd adjuk hozzá őket:

Most alakítsuk át a bináris összeadás eredményét decimális számmá:

Hasonlítsuk össze az eredményeket - az összeadás helyesen történt.

Kivonás. Nézzük a bináris számok kivonását. Az egyjegyű bináris számok kivonására szolgáló táblázaton alapul.

Ha egy kisebb számból (0) kivonunk egy nagyobb számot (1), a kölcsön a legmagasabb számjegyből történik. A táblázatban a kölcsönt 1-gyel jelöltük egy sorral:

A többbites bináris számok kivonása a fenti kivonási táblázat szerint történik, figyelembe véve a legmagasabb számjegyekből történő lehetséges kölcsönzéseket. Példaként vonjuk ki a 110 2 és 11 2 bináris számokat:

Szorzás. A szorzás az egyjegyű bináris számok szorzótábláján alapul:

A többjegyű bináris számok szorzása a fenti szorzótáblázat szerint történik a szokásos séma, a tizedes számrendszerben használatos, a szorzószám szekvenciális szorzásával a szorzó következő számjegyével. Példaként szorozzuk meg a 110 2 és 11 2 bináris számokat:

Osztály. Az osztási művelet a decimális számrendszerben végzett osztási művelethez hasonló algoritmussal történik. Példaként osszuk el a 110 2 bináris számot 11 2-vel:

Mert aritmetikai műveletek-ban kifejezett számok felett különféle rendszerek jelölést, először konvertálnia kell őket ugyanabba a rendszerbe.

Feladatok az önálló teljesítéshez

4.6. Feladat részletes válasszal. Végezze el a 1010 2 és 10 2 bináris számok összeadását, kivonását, szorzását és osztását

A helyzetszámrendszer alapja a q egész szám, amelyet hatványra emelünk.

A pozicionális számrendszer alapja egy olyan számsorozat, amely egy-egy szimbólum mennyiségi egyenértékét (súlyát) határozza meg a számkódban elfoglalt helyétől függően.

Tizedes alap: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…

Egy tetszőleges helyzetszámrendszer alapja: ... qn, qn –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …

Az alap bármely rendszerben 10, de más mennyiségi értéke van. Megmutatja, hogy egy számjegy mennyiségi értéke hányszor változik, amikor egy szomszédos pozícióba kerül. Számos helyzetrendszer lehetséges, mivel bármely 2-nél nem kisebb szám a számrendszer alapja lehet.

A számrendszer neve megfelel az alapjának (tizedes, bináris, quináris stb.).

Számrendszerben bázissal q (q-rendszerű számrendszer) a számjegyek egységei egy szám egymást követő hatványai q, más szavakkal, q bármely kategória egységei a következő kategória egységét alkotják.

Számokat beírni q-árszámrendszer szükséges q különböző jelek (számjegyek), amelyek a 0, 1, ... számokat jelölik, q – 1.

Ezért a helyzetszámrendszer alapja megegyezik az ábécéjében található szimbólumok (jelek) számával. Szám írása q V q A számrendszer 10-es alakú.

1. példa Oktális számrendszer.

Bázis: q = 8.

Ábécé: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 és 7.

Számok: például 45023.152 8 ; 751 001 8 .

2. példaÖtszeres számrendszer .

Bázis: q = 5.

ABC: 0, 1, 2, 3 és 4.

Számok: például 20304 5 ; 324,03 5.

3. példa Hexadecimális számrendszer.

Bázis: q = 16.

Ábécé: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Itt a tizenhat számjegyből csak tíznek van az általánosan elfogadott jelölése 0-9. Az ábécé többi karakterének (10, 11, 12, 13, 14 és 15) beírásához általában a latin ábécé első öt betűjét használják.

Számok: például В5С3,1А2 16; 355.0FA01 8.

A helyzetszámrendszerben bármely valós szám a következő formában lehet bemutatni:

A q = ±( a n–1 × qn –1 + a n–2 × qn –2 +…+ a 0 × q 0 + a–1 × q –1 + a–2 × q –2 +…+ a –m × q–m), (1) vagy ±.

Itt A - maga a szám; q- alapszám;
és én- adott számrendszer ábécéjéhez tartozó számok; P - egész számjegyek száma; T - egy szám tört számjegyeinek száma.

Egy szám (1) képlet szerinti felbontását nevezzük bővített nevezési lap . Egyébként ezt a rögzítési formát ún polinom vagy nyugodt.

1. példa Decimális szám A 10 = 5867,91 az (1) képlet szerint a következőképpen ábrázolható:

A 10 = 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 –1 + 1 × 10 –2.

2. példa Az oktális számrendszer (1) képlete a következő:

A 8 = ±( a n–1 × 8 n –1 + a n–2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 8 0 + a–1 × 8 –1 + a–2 × 8 –2 +…+ a–m× 8 – m),

Ahol és én- számok 0-7.

Oktális szám A 8 = 7064,3 az (1) formában a következőképpen lesz írva:

A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8 –1.

3. példaÖtszörös szám A 5 = 2430,21 az (1) képlet szerint a következőképpen lesz írva:

A 5 = 2 × 5 3 + 4 × 5 2 + 3 × 5" + 0 × 5° + 2 × 5 –1 + 1 × 5 –2.

Ennek a kifejezésnek a kiszámításával megkaphatja a megadott ötszörös szám decimális megfelelőjét: 365,44 10.

4. példa A hexadecimális számrendszerben a bejegyzés 3 A.F. 16 jelentése:

3A.F. 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10.