V časti o otázke Aké sú dve formy písania číslic? daný autorom prosfora najlepšia odpoveď je V pozičných číselných sústavách závisí kvantitatívny ekvivalent (hodnota) číslice od jej miesta (polohy) v zápise čísla.
Pozícia číslice v čísle sa nazýva číslica.
Číslica čísla sa zvyšuje sprava doľava, od nižšej k vyššej číslici.
Základom pozičného číselného systému je celé číslo, ktoré sa rovná počtu číslic používaných na reprezentáciu čísel v tomto číselnom systéme.
Základ ukazuje, koľkokrát sa kvantitatívna hodnota číslice zmení, keď sa posunie na nižšiu alebo vyššiu číslicu.
SYSTÉMY POLOHOVÝCH ČÍSEL S VOĽNÝM ZÁKLADOM
Je možné použiť mnoho pozičných číselných systémov, ktorých základ je rovný alebo väčší ako 2.
V číselných sústavách so základom q (q-árna číselná sústava) sa čísla v rozšírenom tvare zapisujú ako súčet počtu stupňov základu q s koeficientmi, ktorými sú čísla 0, 1, ..., q-1.
alebo
Aq je číslo v q-árnej číselnej sústave,
q je základom číselnej sústavy,
Ai - číslice patriace do abecedy tejto číselnej sústavy,
n je počet celých číslic čísla,
m je počet desatinných miest čísla.
Koeficienty ai sú číslice čísla zapísaného v q-árnej číselnej sústave.
Zbalený číselný zápis:
Skladaný tvar písania čísel používame v každodennom živote,
nazýva sa prirodzený alebo digitálny.
Na zápis zlomkov sa používajú číslice so zápornými základnými stupňami.
SYSTÉM DESETINNÝCH ČÍSEL
Základ: q = 10.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Zbalený číselný zápis:
Rozšírená forma zápisu čísla:
Koeficienty ai - číslice desatinného čísla.
Napríklad číslo 123.4510 v rozšírenom tvare by bolo napísané takto:
Vynásobením alebo delením desatinného čísla číslom 10 (hodnota základu) sa čiarka, ktorá oddeľuje časť celého čísla od zlomkovej jednej číslice, posunie doprava alebo doľava. Napríklad:
123,4510 10 = 1234,510;
123,4510: 10 = 12,34510.
Notový zápis
Notový zápis - toto je spôsob reprezentácie čísel a zodpovedajúce pravidlá pre prácu s číslami. Rôzne číselné sústavy, ktoré existovali predtým a používajú sa dnes, možno rozdeliť na nepozičné a pozičné. Znaky používané pri písaní čísel, sa volajú čísla.
AT nepozičné číselné sústavy hodnota číslice nezávisí od jej pozície v čísle.
Príkladom nepozičnej číselnej sústavy je rímska sústava (rímske číslice). V rímskom systéme sa latinské písmená používajú ako čísla:
Príklad 1Číslo CCXXXII pozostáva z dvesto, troch desiatok a dvoch jednotiek a rovná sa dvesto tridsiatim dvojkám.
Rímske číslice sa píšu zľava doprava v zostupnom poradí. V tomto prípade sa ich hodnoty pripočítajú. Ak je vľavo napísané menšie číslo a vpravo veľké číslo, ich hodnoty sa odpočítajú.
Príklad 2
VI = 5 + 1 = 6; IV \u003d 5 - 1 \u003d 4.
Príklad 3
MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +
+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.
AT pozičné číselné sústavy hodnota označená číslicou v číselnom zápise závisí od jeho polohy. Počet použitých číslic sa nazýva základ pozičného číselného systému.
Číselný systém používaný v modernej matematike je pozičná desiatková sústava. Jeho základom je desať, pretože Akékoľvek čísla sa píšu pomocou desiatich číslic:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Pozičnú povahu tohto systému je ľahké pochopiť na príklade akéhokoľvek viacciferného čísla. Napríklad v čísle 333 prvé tri znamenajú tristo, druhé - tri desiatky, tretie - tri jednotky.
Zápis čísel v polohovej sústave so základňou n treba mať abeceda od nčíslic. Zvyčajne pre toto n < 10 используют n prvé arabské číslice a n> 10 písmen sa pridáva k desiatim arabským číslicam. Tu sú príklady abecedy z niekoľkých systémov:
Ak je potrebné uviesť základ systému, do ktorého číslo patrí, potom je tomuto číslu priradený dolný index. Napríklad:
1011012, 36718, 3B8F16.
V základnom číselnom systéme q (q-árna číselná sústava) jednotky číslic sú postupné mocniny čísla q. q jednotky ľubovoľnej kategórie tvoria jednotku nasledujúcej kategórie. Ak chcete napísať číslo q-vyžaduje sa sústava čísel q rôzne znaky (čísla) predstavujúce čísla 0, 1, ..., q– 1. Napísanie čísla q v q-árna číselná sústava má tvar 10.
Rozšírená forma zápisu čísla
Nechaj Aq- číslo v základnom systéme q, ai -číslice danej číselnej sústavy prítomné v zápise čísla A, n+ 1 - počet číslic celej časti čísla, m- počet číslic zlomkovej časti čísla:
Rozšírený tvar čísla ALE sa nazýva záznam v tvare:
Napríklad pre desatinné číslo:
Nasledujúce príklady zobrazujú rozšírenú formu hexadecimálnych a binárnych čísel:
V akejkoľvek číselnej sústave sa jej základ zapíše ako 10.
Ak sú všetky členy v rozšírenej forme nedesiatkového čísla uvedené v desiatkovej sústave a výsledný výraz sa vypočíta podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky, získa sa číslo v desiatkovej sústave, ktoré sa rovná uvedenému. Podľa tohto princípu sa vykonáva prevod z nedesiatkovej sústavy na desiatkovú. Napríklad prevod vyššie napísaných čísel do desiatkovej sústavy sa vykonáva takto:
Nechaj Aq- číslo v základnom systéme q, ai -číslice danej číselnej sústavy prítomné v zápise čísla A, n+ 1 - počet číslic celej časti čísla, m- počet číslic zlomkovej časti čísla:
Rozšírený tvar čísla ALE sa nazýva záznam v tvare:
Napríklad pre desatinné číslo:
Nasledujúce príklady zobrazujú rozšírenú formu hexadecimálnych a binárnych čísel:
V akejkoľvek číselnej sústave sa jej základ zapíše ako 10.
Ak sú všetky členy v rozšírenej forme nedesiatkového čísla uvedené v desiatkovej sústave a výsledný výraz sa vypočíta podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky, získa sa číslo v desiatkovej sústave, ktoré sa rovná uvedenému. Podľa tohto princípu sa vykonáva prevod z nedesiatkovej sústavy na desiatkovú. Napríklad prevod vyššie napísaných čísel do desiatkovej sústavy sa vykonáva takto:
Preklad desatinné čísla do iných číselných sústav
Preklad celého čísla
celé desiatkové číslo X je potrebné preniesť do systému so základňou q: X = (a n a n-1... a 1 a 0) q. Potrebujete nájsť platné číslice čísla: 
.Predstavme si číslo v rozšírenej forme a vykonajte identickú transformáciu:
Odtiaľto je jasné, že a 0 je zvyšok delenia čísla X za číslo q. Výraz v zátvorkách je celočíselný kvocient tohto delenia. Označme to ako X 1. Vykonaním podobných transformácií dostaneme:
v dôsledku toho a 1 je zvyšok divízie X 1 na q. Pokračujúc v delení so zvyškom, dostaneme postupnosť číslic požadovaného čísla. číslo an v tomto reťazci divízií bude posledný súkromný, menší q.
Sformulujme výsledné pravidlo: aby ste mohli previesť celé desatinné číslo do číselnej sústavy s iným základom, potrebujete:
1) vyjadriť základ nového číselného systému v desiatkovej číselnej sústave a vykonať všetky následné akcie podľa pravidiel desiatkovej aritmetiky;
2) sekvenčne delíme dané číslo a výsledné parciálne podiely základom novej číselnej sústavy, až kým nedostaneme neúplný podiel menší ako deliteľ;
3) výsledné zvyšky, ktoré sú číslicami čísla v nový systém počet, zosúladiť ho s abecedou nového číselného systému;
4) vytvorte číslo v novej číselnej sústave a zapíšte ho od posledného súkromného čísla.
Príklad 1 Preveďte číslo 37 10 na binárnu sústavu.
Na označenie čísel v zápise čísla používame symboliku: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0
Preto: 37 10 = 100 10 l 2
Príklad 2 Preveďte desiatkové číslo 315 na osmičkové a hexadecimálne systémy:
Z toho vyplýva: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Pripomeňme, že 11 10 = B 16 .
Desatinné X < 1 требуется перевести в систему с основанием q: X = (0, a –1 a –2 … a-m+1 a–m) q. Potrebujete nájsť platné číslice čísla: a –1 ,a –2 , …, a-m. Predstavme si číslo v rozšírenom tvare a vynásobme ho q:
Odtiaľto je jasné, že a-1 je celá časť práce X za číslo q. Označiť podľa X 1zlomková časť produktov a vynásobte ho q:
v dôsledku toho a-2 je celá časť výrobku X 1 na číslo q. Pokračujúc v násobení, dostaneme postupnosť číslic. Teraz sformulujme pravidlo: aby ste mohli previesť desatinný zlomok na číselnú sústavu s iným základom, potrebujete:
1) postupne násobte dané číslo a výsledné zlomkové časti súčinu základom nového systému, kým sa zlomková časť súčinu nerovná nule alebo kým sa nedosiahne požadovaná presnosť reprezentácie čísla v novom číselnom systéme;
2) výsledné celočíselné časti súčinov, ktorými sú číslice čísla v novej číselnej sústave, ich privedú do súladu s abecedou novej číselnej sústavy;
3) vytvorte zlomkovú časť čísla v novej číselnej sústave, počnúc celočíselnou časťou prvého súčinu.
Príklad 3 Previesť desiatkové číslo 0,1875 na binárne, osmičkové a šestnástkové.
Tu je celá časť čísel v ľavom stĺpci a zlomková časť je v pravom stĺpci.
Preto: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16
Preklad zmiešaných čísel, obsahujúci celé číslo a zlomkové časti, sa uskutočňuje v dvoch fázach. Celé číslo a zlomkové časti pôvodného čísla sa prekladajú oddelene podľa zodpovedajúcich algoritmov. V konečnom zázname čísla v novom číselnom systéme je celá časť oddelená od zlomkovej čiarky (bodky).
Téma „Číselné sústavy“ priamo súvisí s matematickou teóriou čísel. V školskom kurze matematiky sa však spravidla neštuduje. Potreba naštudovania tejto témy na kurze informatiky súvisí s tým, že čísla v pamäti počítača sú zastúpené v binárnej číselnej sústave a na externú reprezentáciu obsahu pamäte, adresy pamäte, sa používajú šestnástkové alebo osmičkové sústavy. Ide o jednu z tradičných tém kurzu informatiky alebo programovania. Táto téma, ktorá súvisí s matematikou, prispieva aj k základnému matematickému vzdelaniu školákov.
Pre kurz informatiky je hlavným záujmom oboznámenie sa s binárnym číselným systémom. Použitie binárnej číselnej sústavy v počítači možno uvažovať v dvoch aspektoch: 1) binárne číslovanie, 2) binárna aritmetika, t.j. vykonávanie aritmetických výpočtov na binárnych číslach.
Binárne číslovanie
S binárnym číslovaním sa žiaci stretávajú v téme „Reprezentácia textu v pamäť počítača". Keď hovoríme o kódovacej tabuľke, učiteľ by mal informovať študentov, že interné binárny kód symbol je jeho sériové číslo v dvojkovej sústave. Napríklad číslo písmena S v tabuľke ASCII je 83. Osemmiestny binárny kód pre písmeno S sa rovná hodnote toto číslo v binárnom kóde: 01010011.
Binárne počítanie
Podľa princípu Johna von Neumanna počítač vykonáva výpočty v dvojkovej sústave. V rámci základného kurzu sa stačí obmedziť na výpočty s binárnymi celými číslami. Ak chcete vykonávať výpočty s viaccifernými číslami, musíte poznať pravidlá pre sčítanie a pravidlá pre násobenie jednociferných čísel. Tu sú pravidlá:
Princíp permutácie sčítania a násobenia funguje vo všetkých číselných sústavách. Techniky vykonávania výpočtov s viaccifernými číslami v dvojkovej sústave sú podobné ako v desiatkovej sústave. Inými slovami, procedúry sčítania, odčítania a násobenia pomocou „stĺpca“ a delenia „rohom“ v dvojkovej sústave sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako v desiatkovej sústave.
Zvážte pravidlá odčítania a delenia binárne čísla. Operácia odčítania je opakom sčítania. Z vyššie uvedenej tabuľky sčítania vyplývajú pravidlá odčítania:
0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.
Tu je príklad viacmiestneho odčítania:
Získaný výsledok je možné skontrolovať pripočítaním rozdielu k subtrahendu. Malo by ísť o klesajúci počet.
Delenie je inverzná operácia násobenia.
V žiadnej číselnej sústave nemôžete deliť 0. Výsledok delenia 1 sa rovná dividende. Delenie binárneho čísla číslom 102 posunie desatinnú čiarku o jedno miesto doľava, rovnako ako desatinné delenie číslom desať. Napríklad:
Delenie 100 posunie desatinnú čiarku o 2 miesta doľava atď. V základnom kurze nemôžete zvážiť komplexné príklady delenie viachodnotových binárnych čísel. Aj keď schopní študenti sa s nimi dokážu vyrovnať, keď pochopia všeobecné princípy.
Reprezentácia informácií uložených v pamäti počítača v ich skutočnej binárnej forme je veľmi ťažkopádna kvôli veľkému počtu číslic. Ide o záznam takýchto informácií na papier alebo ich zobrazenie na obrazovke. Na tieto účely sa zvyčajne používajú zmiešané binárno-osmičkové alebo binárne-hexadecimálne systémy.
Existuje jednoduchý vzťah medzi binárnym a hexadecimálnym vyjadrením čísla. Pri preklade čísla z jedného systému do druhého zodpovedá jedna hexadecimálna číslica štvormiestnemu binárnemu kódu. Táto korešpondencia sa odráža v binárno-hexadecimálnej tabuľke:
Binárna hexadecimálna tabuľka
Takýto vzťah je založený na skutočnosti, že 16 = 2 4 a počet rôznych štvorciferných kombinácií číslic 0 a 1 je 16: od 0000 do 1111. Preto prevod čísel z hexadecimálnych na binárne a naopak sa vykonáva formálnym prevodom podľa binárno-hexadecimálnej tabuľky.
Tu je príklad prekladu 32-bitového binárneho kódu do hexadecimálneho systému:
1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A
Ak je zadaná hexadecimálna reprezentácia interných informácií, potom je ľahké ich preložiť do binárneho kódu. Výhodou hexadecimálnej reprezentácie je, že je 4-krát kratšia ako binárna. Je žiaduce, aby si žiaci zapamätali binárno-hexadecimálnu tabuľku. Potom sa pre nich hexadecimálna reprezentácia stane ekvivalentnou binárnej.
V dvojkovej osmičke každá osmičková číslica zodpovedá trojici dvojkových číslic. Tento systém vám umožňuje zmenšiť binárny kód 3-krát.
| Plánovanie lekcie a materiály lekcie | 8 tried | Plánovanie vyučovacích hodín na akademický rok (podľa učebnice N.D. Ugrinovicha) | Rozšírené a zbalené formy písania čísel. Preklad z ľubovoľnej do desiatkovej číselnej sústavy
Lekcia 19
Rozšírené a zbalené formy písania čísel. Preklad z ľubovoľnej do desiatkovej číselnej sústavy
§ 4.1. Kódovanie číselných informácií
4.1.2. Aritmetické operácie v pozičných číselných sústavách
Aritmetické operácie vo všetkých pozičných číselných sústavách sa vykonávajú podľa rovnakých dobre známych pravidiel.
Doplnenie. Zvážte sčítanie čísel v binárnej číselnej sústave. Je založená na sčítacej tabuľke jednociferných binárnych čísel:
0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10.
Dôležité je dávať pozor na to, že pri pridávaní dvoch jednotiek dochádza k pretečeniu bitu a k presunu na najvyšší bit. Pretečenie nastane, keď sa hodnota číslice v ňom rovná alebo je väčšia ako základ číselnej sústavy. Pre binárnu číselnú sústavu je táto hodnota dva.
Sčítanie viacciferných binárnych čísel sa vykonáva v súlade s vyššie uvedenou tabuľkou sčítania, berúc do úvahy možné prevody z nižších číslic na vyššie. Ako príklad pridajme binárne čísla 110 2 a 11 2 do stĺpca:
Skontrolujme si správnosť výpočtov sčítaním v desiatkovej číselnej sústave. Prevedieme binárne čísla do desiatkovej číselnej sústavy a potom ich pridáme:
Teraz preložíme výsledok binárneho sčítania na desatinné číslo:
Porovnajte výsledky - sčítanie je správne.
Odčítanie. Zvážte odčítanie binárnych čísel. Je založená na odčítacej tabuľke jednociferných binárnych čísel.
Pri odpočítaní od menšieho čísla (0) väčšieho (1) sa pôžička uskutoční od najvyššieho poradia. V tabuľke je pôžička označená 1 s čiarou:
Odčítanie viacciferných binárnych čísel sa vykonáva v súlade s vyššie uvedenou tabuľkou odčítania, berúc do úvahy možné pôžičky od číslic vyšších rádov. Ako príklad si odčítajme binárne čísla 110 2 a 11 2:
Násobenie. Násobenie je založené na tabuľke násobenia jednociferných binárnych čísel:
Násobenie viacciferných binárnych čísel sa vykonáva v súlade s vyššie uvedenou tabuľkou násobenia o obvyklý vzor používané v desiatkovej číselnej sústave s postupným násobením násobiteľa nasledujúcou číslicou násobiteľa. Ako príklad si vynásobme binárne čísla 110 2 a 11 2:
divízie. Operácia delenia sa vykonáva podľa algoritmu podobného algoritmu operácie delenia v desiatkovej číselnej sústave. Ako príklad vydeľme binárne číslo 110 2 číslom 11 2:
Pre aritmetické operácie nad číslami vyjadrenými v rôzne systémy kalkul, musíte ich najskôr preložiť do rovnakého systému.
Úlohy na sebarealizáciu
4.6. Otázka s podrobnou odpoveďou. Vykonajte sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie binárnych čísel 1010 2 a 10 2
Základom pozičnej číselnej sústavy je celé číslo q, ktoré je umocnené.
Základom pozičného číselného systému je postupnosť čísel, z ktorých každé určuje kvantitatívny ekvivalent (váhu) symbolu v závislosti od jeho miesta v číselnom kóde.
Desatinný základ: …10 n, 10n –1 ,…, 10 1 , 10 0 , 10 –1 , …, 10 – m ,…
Základ ľubovoľného pozičného číselného systému: ... q n, q n –1 , …, q 1 , q 0 , q –1 , …, q – m, …
Báza v akomkoľvek systéme je znázornená ako 10, ale má inú kvantitatívnu hodnotu. Ukazuje, koľkokrát sa kvantitatívna hodnota číslice zmení, keď sa presunie na susednú pozíciu. Existuje mnoho pozičných systémov, pretože za základ číselného systému možno považovať akékoľvek číslo, nie menšie ako 2.
Názov číselnej sústavy zodpovedá jej základu (desiatkové, dvojkové, kvinárne atď.).
V základnom číselnom systéme q (q-árna číselná sústava) jednotky číslic sú postupné mocniny čísla q, inými slovami, q jednotky ľubovoľnej kategórie tvoria jednotku nasledujúcej kategórie.
Na písanie čísel q-vyžaduje sa sústava čísel q rôzne znaky (čísla) predstavujúce čísla 0, 1, ..., q – 1.
Preto sa základ pozičného číselného systému rovná počtu znakov (znakov) v jeho abecede. Písanie čísla q v q-árna číselná sústava má tvar 10.
Príklad 1 Osmičková číselná sústava.
základňa: q = 8.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7.
Čísla: napríklad 45023,152 8 ; 751,001 8 .
Príklad 2 Päťnásobný číselný systém .
základňa: q = 5.
Abeceda: 0, 1, 2, 3 a 4.
Čísla: napríklad 20304 5 ; 324,03 5 .
Príklad 3 Hexadecimálna číselná sústava.
základňa: q = 16.
Abeceda: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Tu má všeobecne akceptované označenie 0-9 iba desať číslic zo šestnástich. Na písanie zostávajúcich znakov abecedy (10, 11, 12, 13, 14 a 15) sa zvyčajne používa prvých päť písmen latinskej abecedy.
Čísla: napríklad B5C3,1A2 16; 355.0FA01 8 .
V pozičnom číselnom systéme akékoľvek Reálne číslo môžu byť prezentované v nasledujúcej forme:
A q = ±( a n– 1× q n –1 + a n– 2× q n –2 +…+ a 0 × q 0 + a– 1× q –1 + a– 2× q –2 +…+ a –m × q–m), (1) alebo ±.
Tu ALE - samotné číslo; q- radix;
a i- číslice patriace do abecedy danej číselnej sústavy; P - počet celých číslic čísla; t - počet zlomkových číslic čísla.
Rozšírenie čísla podľa vzorca (1) sa nazýva rozšírený zápis . Inak sa táto forma zápisu nazýva polynóm alebo moc.
Príklad 1 Desatinné číslo ALE 10 = 5867,91 podľa vzorca (1) sa uvádza takto:
A 10 \u003d 5 × 10 3 + 8 × 10 2 + 6 × 10 1 + 7 × 10 0 + 9 × 10 -1 + 1 × 10 -2.
Príklad 2 Vzorec (1) pre osmičkovú číselnú sústavu má tvar:
A 8 = ±( a n– 1×8 n –1 + a n-2 × 8 n –2 +…+ a 0 × 80 + a–1 × 8 –1 + a–2 × 8 –2 +…+ a-m×8 - m),
kde a i- čísla 0–7.
Osmičkové číslo A 8 \u003d 7064.3 v tvare (1) sa zapíše takto:
A 8 = 7 × 8 3 + 0 × 8 2 + 6 × 8 1 + 4 × 8 0 + 3 × 8-1.
Príklad 3 päťnásobné číslo ALE 5 \u003d 2430.21 podľa vzorca (1) sa zapíše takto:
ALE 5 = 2 x 5 3 + 4 x 5 2 + 3 x 5" + 0 x 5° + 2 x 5-1 + 1 x 5-2.
Vyhodnotením tohto výrazu môžete získať desiatkový ekvivalent zadaného kvinárneho čísla: 365,44 10 .
Príklad 4 Záznam 3 v hexadecimálnom zápise AF 16 znamená:
3AF 16 = 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 15 × 16 0 = 768 + 160 + 15 = 943 10 .